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第五章 导数与微分：完整知识体系

Chapter 5: Derivatives and Differentials - Complete Knowledge System

知识体系导读 | System Overview
导数是微积分学的核心概念，是从函数的连续性到变化率研究的关键飞跃。本章系统构建导数的完整理论框架，从导数的定义、几何意义、物理背景出发，建立导数的运算法则和应用体系。导数不仅是数学分析的基石，更是物理学、工程学、经济学等学科的基本工具，它揭示了函数局部变化的本质规律。

🗺️ 完整思维导图 | Complete Mind Map

导数理论体系 (Derivative Theory)
│
├─── 概念基础层 (Fundamental Concepts)
│    ├─ 导数的定义 ★核心★
│    │  ├─ 极限定义：lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)
│    │  ├─ 增量定义：lim Δy/Δx
│    │  ├─ 几何意义：切线斜率
│    │  └─ 物理意义：瞬时速度/变化率
│    │
│    ├─ 可导性
│    │  ├─ 可导的充要条件
│    │  ├─ 单侧导数（左导数/右导数）
│    │  ├─ 可导与连续的关系 ★重要★
│    │  └─ 不可导的情况
│    │
│    └─ 导函数
│       ├─ 定义：f'(x)
│       ├─ 记号：f'(x), y', dy/dx, ẏ
│       └─ 区间上的可导函数
│
├─── 基本导数公式层 (Basic Derivative Formulas)
│    ├─ 常函数：(C)' = 0
│    ├─ 幂函数：(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
│    ├─ 指数函数：(aˣ)' = aˣ ln a, (eˣ)' = eˣ
│    ├─ 对数函数：(logₐx)' = 1/(x ln a), (ln x)' = 1/x
│    ├─ 三角函数
│    │  ├─ (sin x)' = cos x
│    │  ├─ (cos x)' = -sin x
│    │  ├─ (tan x)' = sec²x
│    │  └─ (cot x)' = -csc²x
│    └─ 反三角函数
│       ├─ (arcsin x)' = 1/√(1-x²)
│       ├─ (arccos x)' = -1/√(1-x²)
│       └─ (arctan x)' = 1/(1+x²)
│
├─── 运算法则层 (Derivative Rules)
│    ├─ 四则运算
│    │  ├─ 线性性：(αf + βg)' = αf' + βg'
│    │  ├─ 乘积法则：(fg)' = f'g + fg'
│    │  └─ 商法则：(f/g)' = (f'g - fg')/g²
│    │
│    ├─ 复合函数求导（链式法则）★★★
│    │  └─ (f∘g)' = f'(g(x))·g'(x)
│    │
│    ├─ 反函数求导
│    │  └─ (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x)
│    │
│    └─ 隐函数求导
│       └─ 对方程两边同时求导
│
├─── 几何应用层 (Geometric Applications)
│    ├─ 切线与法线
│    │  ├─ 切线方程：y-y₀=f'(x₀)(x-x₀)
│    │  └─ 法线方程：y-y₀=-1/f'(x₀)(x-x₀)
│    │
│    ├─ 函数的单调性
│    │  ├─ f'>0 ⟹ 单调递增
│    │  └─ f'<0 ⟹ 单调递减
│    │
│    └─ 极值问题
│       ├─ 费马定理 ★重要★
│       ├─ 驻点/稳定点：f'(x₀)=0
│       └─ 极值的必要条件
│
├─── 高阶导数层 (Higher Order Derivatives)
│    ├─ 二阶导数：f''(x)
│    ├─ n阶导数：f⁽ⁿ⁾(x)
│    ├─ 莱布尼茨公式
│    └─ 应用：凹凸性、拐点
│
└─── 应用拓展层 (Applications)
     ├─ 物理应用
     │  ├─ 速度与加速度
     │  ├─ 变化率问题
     │  └─ 相关变化率
     │
     ├─ 几何应用
     │  ├─ 曲率
     │  ├─ 曲线的切线
     │  └─ 最优化问题
     │
     └─ 实际建模
        ├─ 经济学（边际分析）
        ├─ 生物学（增长率）
        └─ 工程学（最优设计）

第一部分：导数的概念 | The Concept of Derivative

1.1 导数的背景与引入

导数的思想最初由法国数学家**费马（Fermat）为研究极值问题而引入，但与导数概念直接相联系的是以下两个经典问题，由英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）**分别在研究力学和几何学过程中建立起来。

问题一：瞬时速度（物理背景）

问题描述：设一质点作直线运动，其运动规律为 $s=s(t)$。求质点在某一时刻 $t_0$ 的瞬时速度。

分析：

• 若 $t_0$ 为某一确定的时刻，$t$ 为邻近于 $t_0$ 的时刻，则 $$\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$$ 是质点在时间段 $[t_0,t]$（或 $[t,t_0]$）上的平均速度。

• 当 $t\to t_0$ 时，如果平均速度的极限存在，则称该极限 $$v(t_0)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\text{\hspace{1em}(1)}$$ 为质点在时刻 $t_0$ 的瞬时速度。

物理意义：瞬时速度是平均速度在时间间隔趋于零时的极限值，反映了质点在某一瞬间的运动状态。

问题二：切线的斜率（几何背景）

问题描述：求曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线斜率。

        y
        │     Q(x,y)
        │      ●
        │     ╱│
        │    ╱ │
        │   ╱  │
        │  ╱   │
        │ ╱    │
        │●─────┤ P(x₀,y₀)
        │      │
        └──────┴────→ x
             x₀  x
      (割线PQ → 切线PT)

分析：

• 曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线 PT 是割线 $PQ$ 当动点 $Q$ 沿曲线无限接近于点 $P$ 时的极限位置。

• 割线 $PQ$ 的斜率为 $$k_{PQ}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

• 当 $x\to x_0$ 时，若 $k$ 的极限存在，则极限 $$k=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\text{\hspace{1em}(2)}$$ 即为切线 $PT$ 的斜率。

几何意义：切线是曲线在某点处的"最佳线性近似"。

共同本质

上述两个问题虽然物理背景和几何背景不同，但都归结为形如 $(1)$、$(2)$ 这种类型的极限： $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

这就是导数的本质——函数在某点的变化率。

1.2 导数的定义 ★核心定义★

定义 5.1（导数的定义）

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。若极限 $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\text{\hspace{1em}(3)}$$ 存在，则称函数 $f$ 在点 $x_0$ 可导，并称该极限为函数 $f$ 在点 $x_0$ 的导数，记作 $$f^{\prime }(x_0)\text{或}{y}^{\prime }{|}_{x=x_0}\text{或}{\frac{dy}{dx}|}_{x=x_0}$$

增量形式

令 $\Delta x=x-x_0$（自变量增量），$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$（函数增量），则 $(3)$ 式可改写为 $$\boxed{f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

解读：

• $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 称为函数关于自变量的平均变化率（或差商）
• 导数 $f^{\prime }(x_0)$ 是瞬时变化率，即差商在 $\Delta x\to 0$ 时的极限

不可导的定义

若 $(3)$ 或 $(4)$ 式的极限不存在，则称 $f$ 在点 $x_0$ 不可导。

1.3 导数的典型例题

例 5.1：求函数 $f(x)=x^2$ 在点 $x=1$ 的导数，并求曲线在点 $(1,1)$ 的切线方程

解：

由定义求导： $$f^{\prime }(1)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(1+\Delta x{)}^2-1}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1+2\Delta x+(\Delta x{)}^2-1}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2\Delta x+(\Delta x{)}^2}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(2+\Delta x)=2$$

因此，抛物线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 的切线斜率为 $k=f^{\prime }(1)=2$。

切线方程： $$y-1=2(x-1)$$ 即 $$\boxed{y=2x-1}$$

例 5.2：证明函数 $f(x)=|x|$ 在点 $x=0$ 不可导

证明：

计算左右极限： $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{|x|}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x}{x}=-1$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{|x|}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{x}=1$$

因为左右极限不相等，所以 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$ 不存在，故 $f$ 在点 $x=0$ 不可导。✗

几何解释：$y=|x|$ 在 $x=0$ 处有"尖角"，左右切线斜率不同。

    y
    │  ╱│╲
    │ ╱ │ ╲
    │╱  │  ╲
────┼───┼───→ x
    0   
  (尖点不可导)

例 5.3：证明常量函数 $f(x)=C$ 的导数为零

证明：

对任意点 $x$： $$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{C-C}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }0=0$$

因此，$\boxed{(C{)}^{\prime }=0}$。✓

1.4 有限增量公式

定理 5.1'（有限增量公式）

若函数 $f$ 在点 $x_0$ 可导，则 $$\boxed{\Delta y=f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x+o(\Delta x)}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中 $o(\Delta x)$ 是当 $\Delta x\to 0$ 时比 $\Delta x$ 高阶的无穷小。

证明：

由导数定义： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$$

记 $\alpha =\frac{\Delta y}{\Delta x}-f^{\prime }(x_0)$，则 $\alpha \to 0$ 当 $\Delta x\to 0$。

因此： $$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x+\alpha \cdot \Delta x$$

其中 $\alpha \cdot \Delta x=o(\Delta x)$，证毕。✓

公式 $(5)$ 的意义：

1. 函数增量 $\Delta y$ 可以分解为主要部分 $f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x$（线性）和高阶无穷小 $o(\Delta x)$
2. 当 $\Delta x$ 很小时，$\Delta y\approx f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x$（线性近似）
3. 这是微分概念的基础

1.5 可导与连续的关系 ★重要★

定理 5.1（可导必连续）

若函数 $f$ 在点 $x_0$ 可导，则 $f$ 在点 $x_0$ 连续。

证明：

由有限增量公式： $$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x+o(\Delta x)$$

当 $\Delta x\to 0$ 时： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x+o(\Delta x)]=0$$

即： $$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)-f(x_0)]=0$$

因此 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，故 $f$ 在 $x_0$ 连续。✓

逆命题不成立

注意：可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件。

反例：$f(x)=|x|$ 在点 $x=0$ 连续，但不可导（例 5.2）。

关系图： $$\boxed{\text{可导}⟹\text{连续}\text{但}\text{连续}\nRightarrow \text{可导}}$$

例 5.4（病态函数）：证明函数 $f(x)=x^{2}D(x)$ 仅在点 $x_0=0$ 可导

其中 $D(x)$ 为狄利克雷函数： $$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{array}$$

证明：

① 当 $x\ne 0$ 时：

由归结原则，$f(x)=x^{2}D(x)$ 在点 $x=x_0\ne 0$ 不连续（因为 $D(x)$ 处处不连续，而 $x^2\ne 0$）。

由定理 5.1（可导必连续），$f(x)$ 在点 $x=x_0$ 不可导。✗

② 当 $x=0$ 时：

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{2}D(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }xD(x)$$

由于 $|D(x)|\le 1$，有： $$|xD(x)|\le |x|\to 0(x\to 0)$$

由夹逼定理： $$\underset{x\to 0}{\lim }xD(x)=0$$

因此 $f^{\prime }(0)=0$，即 $f$ 在 $x=0$ 可导。✓

结论：$f(x)=x^{2}D(x)$ 仅在点 $x_0=0$ 可导。

深刻意义：存在函数仅在一个点可导，处处不连续（除一点外）。这说明可导性是比连续性强得多的性质。

1.6 单侧导数

若只讨论函数在点 $x_0$ 的右邻域（或左邻域）上的变化率，需引入单侧导数的概念。

定义 5.2（单侧导数）

右导数：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某右邻域 $[x_0,x_0+\delta )$ 上有定义，若右极限 $$\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ 存在，则称该极限值为 $f$ 在点 $x_0$ 的右导数，记作 $$f_{+}^{\prime }(x_0)\text{或}{f}^{\prime }(x_0+0)$$

左导数：类似地，若左极限 $$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ 存在，则称为左导数，记作 $$f_{-}^{\prime }(x_0)\text{或}{f}^{\prime }(x_0-0)$$

右导数和左导数统称为单侧导数。

定理 5.2（单侧导数与导数的关系）

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可导的充要条件是 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ 与 $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 都存在，且 $$\boxed{f_{+}^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)}$$

证明：类似于单侧极限与极限的关系定理。✓

例 5.5：设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-\cos x,& x\ge 0\\ x,& x<0\end{array}$$ 讨论 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的左、右导数与导数。

解：

首先，$f(0)=1-\cos 0=0$。

右导数： $$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}$$

利用等价无穷小 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$ 当 $x\to 0$： $$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{2}=0$$

左导数： $$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x}{x}=1$$

结论：

• $f_{+}^{\prime }(0)=0$，$f_{-}^{\prime }(0)=1$
• 因为 $f_{+}^{\prime }(0)\ne f_{-}^{\prime }(0)$，所以 $f^{\prime }(0)$ 不存在，即 $f$ 在 $x=0$ 不可导。✗

图示：

    y
    │   ╱
    │  ╱  1-cos x (右侧平缓)
    │ ╱
────┼──────→ x
   ╱│
  ╱ │ x (左侧陡峭)
 ╱  0

左右切线斜率不同，故不可导。

第二部分：导函数 | Derivative Function

2.1 导函数的定义

定义 5.3（导函数）

若函数 $f$ 在区间 $I$ 上的每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 $f$ 为 $I$ 上的可导函数。

此时，对每一个 $x\in I$，都有 $f$ 的一个导数 $f^{\prime }(x)$ 与之对应，这样就定义了一个在 $I$ 上的函数，称为 $f$ 在 $I$ 上的导函数，也简称为导数，记作 $$\boxed{f^{\prime }(x),y^{\prime },\frac{dy}{dx},\dot{y}}$$

定义式： $$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},x\in I$$

记号说明

1. 牛顿记号：$\dot{y}$（物理学中常用，表示对时间求导）
2. 莱布尼茨记号：$\frac{dy}{dx}$（最常用，可理解为"微分之商"）
3. 拉格朗日记号：$f^{\prime }(x),y^{\prime }$（简洁记号）

特定点的导数：$f^{\prime }(x_0)$ 也可写作 $${\frac{dy}{dx}|}_{x=x_0}\text{或}{\frac{d}{dx}f(x)|}_{x=x_0}$$

其中 $\frac{d}{dx}$ 可理解为一个"求导算子"。

2.2 基本初等函数的导数 ★重要公式★

例 5.6（基本导数公式证明）

(i) 幂函数：$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$（$n$ 为正整数）

证明：

对于 $y=x^n$，由二项式定理： $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x{)}^n-x^n}{\Delta x}$$

$$=\frac{x^n+n{x}^{n-1}\Delta x+\cdots +(\Delta x{)}^n-x^n}{\Delta x}$$

$$=n{x}^{n-1}+C_n^2{x}^{n-2}\Delta x+\cdots +(\Delta x{)}^{n-1}$$

因此： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=n{x}^{n-1}$$

证毕。✓

(ii) 三角函数：$(sinx{)}^{\prime }=\cos x$，$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

证明第一式：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}$$

利用和差化积公式： $$\sin (x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}$$

因此： $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$$

$$=\cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$$

由于 $\cos x$ 连续，且 ${\lim }_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$： $$(\sin x{)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\cos x\cdot 1=\cos x$$

证毕。✓

类似可证 $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$。

(iii) 对数函数：$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$（$a>0,a\ne 1,x>0$）

证明：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{\log }_a(x+\Delta x)-{\log }_{a}x}{\Delta x}$$

$$=\frac{1}{\Delta x}{\log }_a\frac{x+\Delta x}{x}=\frac{1}{\Delta x}{\log }_a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)$$

$$=\frac{1}{x}\cdot \frac{x}{\Delta x}{\log }_a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)$$

$$=\frac{1}{x}{\log }_a{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}^{\frac{x}{\Delta x}}$$

令 $t=\frac{\Delta x}{x}$，则当 $\Delta x\to 0$ 时 $t\to 0$： $$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{x}{\log }_a\left(\underset{t\to 0}{\lim }(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\right)$$

$$=\frac{1}{x}{\log }_{a}e=\frac{1}{x\ln a}$$

证毕。✓

特殊情况：当 $a=e$ 时，$\ln e=1$，因此： $$\boxed{(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}}\text{\hspace{1em}(6)}$$

这是最重要的导数公式之一。

2.3 基本导数公式表

第三部分：导数的几何意义 | Geometric Meaning

3.1 切线与法线

我们已经知道，$f^{\prime }(x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的切线斜率。

切线方程

由点斜式： $$\boxed{y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}\text{\hspace{1em}(7)}$$

这是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的切线方程。

法线方程

法线（Normal Line）是过切点且与切线垂直的直线。

若切线斜率为 $k=f^{\prime }(x_0)\ne 0$，则法线斜率为 $-\frac{1}{k}=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$。

法线方程： $$\boxed{y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)}\text{\hspace{1em}(8)}$$

特殊情况：

• 若 $f^{\prime }(x_0)=0$（切线水平），则法线垂直：$x=x_0$
• 若 $f^{\prime }(x_0)=\infty$（切线垂直），则法线水平：$y=y_0$

3.2 导数的符号与函数单调性

函数 $f$ 在点 $x_0$ 的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的切线斜率。

若 $\alpha$ 表示这条切线与 $x$ 轴正向的夹角，则 $f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$。

    y
    │    ╱  f'>0 (锐角α)
    │   ╱
    │  ╱●─────→
    │ ╱
────┼────────→ x
    │
    │╲
    │ ╲
    │  ╲●─────→  f'<0 (钝角α)
    │   ╲
    
    │
────●─────────→  f'=0 (切线水平)
    │

几何意义：

1. $f^{\prime }(x_0)>0$ ⟹ 切线与 $x$ 轴正向夹角为锐角 ⟹ 函数递增
2. $f^{\prime }(x_0)<0$ ⟹ 切线与 $x$ 轴正向夹角为钝角 ⟹ 函数递减
3. $f^{\prime }(x_0)=0$ ⟹ 切线与 $x$ 轴平行 ⟹ 可能是极值点或水平拐点

3.3 典型例题

例 5.7：求曲线 $y=x^3$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程与法线方程

解：

Step 1：求导数

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(x+\Delta x{)}^3-x^3}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x{)}^2+(\Delta x{)}^3-x^3}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(3x^2+3x\Delta x+(\Delta x{)}^2)=3x^2$$

因此 $f^{\prime }(x_0)=3x_0^2$。

Step 2：切线方程

根据 $(7)$ 式： $$\boxed{y-y_0=3x_0^2(x-x_0)}$$

或写成： $$y-x_0^3=3x_0^2(x-x_0)$$

即： $$y=3x_0^{2}x-2x_0^3$$

Step 3：法线方程

当 $x_0\ne 0$ 时，由 $(8)$ 式： $$\boxed{y-y_0=-\frac{1}{3x_0^2}(x-x_0)}$$

即： $$y-x_0^3=-\frac{1}{3x_0^2}(x-x_0)$$

当 $x_0=0$ 时，切线垂直（斜率为 $0$），法线为： $$\boxed{x=0}$$

几何技巧（三等分法）

对于曲线 $y=x^3$，切线斜率可改写为： $$f^{\prime }(x_0)=3x_0^2=3\cdot \frac{x_0^3}{x_0}=3\cdot \frac{y_0}{x_0}$$

几何意义：为了作过点 $P$ 的切线，只需对 $x$ 轴上从原点 $O$ 到点 $x_0$ 的线段三等分，取靠近 $x_0$ 的分点 $Q$，那么直线 $PQ$ 就是所求的切线。

    y
    │   P(x₀,y₀)
    │   ●
    │  ╱│
    │ ╱ │
    │╱  │
────Q───┴────→ x
    ⅔x₀ x₀
    (三等分点)

第四部分：极值与费马定理 | Extrema and Fermat's Theorem

4.1 极值的定义

定义 5.4（极值）

若函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 上对一切 $x\in U(x_0)$ 有 $$f(x)\ge f(x_0)(\text{或 }f(x)\le f(x_0))\text{\hspace{1em}(9)}$$

则称函数 $f$ 在点 $x_0$ 取得极小值（或极大值），称点 $x_0$ 为极小值点（或极大值点）。

极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。

几何意义：

    y
    │     ╱╲     ╱╲
    │    ╱  ╲   ╱  ╲
    │   ╱    ╲ ╱    ╲
────┼──╱──────●──────╲──→ x
    │        x₂(极大)  
    │   
    │      ╲  ╱
    │       ●  x₁(极小)

• 函数在 $x=x_1$ 取极小值
• 函数在 $x=x_2$ 取极大值

注意：

1. 极值是局部概念，不是全局最大最小值
2. 极大值不一定大于极小值
3. 函数可以有多个极值点

4.2 导数的保号性

例 5.8：证明：若 $f^{\prime }(x_0)>0$，则存在 $\delta >0$，对任何 $x\in (x_0,x_0+\delta )$，有

$$f(x)<f(x_0)\text{\hspace{1em}(10)}$$

（注：原文有误，应为"大于"）

证明：

由导数定义： $$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$$

由函数极限的保号性，存在 $\delta >0$，对一切 $x\in (x_0,x_0+\delta )$，有： $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$$

由于 $x-x_0>0$，因此： $$f(x)-f(x_0)>0⟹f(x)>f(x_0)$$

证毕。✓

类似结论：

1. 若 $f^{\prime }(x_0)>0$，则存在 $\delta >0$，对 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$，有 $f(x)<f(x_0)$
2. 若 $f^{\prime }(x_0)<0$，则存在 $\delta >0$，对 $x\in (x_0,x_0+\delta )$，有 $f(x)<f(x_0)$

结论：若 $f^{\prime }(x_0)$ 存在且不为零，则 $x_0$ 不是 $f(x)$ 的极值点。

4.3 费马定理 ★重要定理★

定理 5.3（费马定理，Fermat's Theorem）

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域上有定义，且在点 $x_0$ 可导。若点 $x_0$ 为 $f$ 的极值点，则必有 $$\boxed{f^{\prime }(x_0)=0}\text{\hspace{1em}(11)}$$

证明：

不妨设 $x_0$ 为极大值点，即存在 $\delta >0$，对所有 $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$，有： $$f(x)\le f(x_0)$$

因此：

• 当 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$x-x_0<0$，$f(x)-f(x_0)\le 0$，所以 $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$$

• 当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$x-x_0>0$，$f(x)-f(x_0)\le 0$，所以 $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$$

由左导数和右导数的定义： $$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$$

$$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$$

由于 $f$ 在 $x_0$ 可导，$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$，因此： $$0\le f^{\prime }(x_0)\le 0⟹f^{\prime }(x_0)=0$$

证毕。✓

几何意义：若函数 $f(x)$ 在极值点 $x=x_0$ 可导，那么在该点的切线平行于 $x$ 轴。

    y
    │     ╱─●─╲  ← 切线水平，f'=0
    │    ╱     ╲
    │   ╱       ╲
────┼──╱─────────╲──→ x
    │           x₀
    (极值点处切线水平)

4.4 驻点/稳定点

定义 5.5（驻点）

满足方程 $f^{\prime }(x)=0$ 的点称为驻点（或稳定点，Stationary Point）。

费马定理的意义：

• 极值点的必要条件：若 $x_0$ 是可导函数的极值点，则 $x_0$ 必是驻点
• 不是充分条件：驻点不一定是极值点

反例：$f(x)=x^3$

$$f^{\prime }(x)=3x^2$$

$$f^{\prime }(0)=0⟹x=0\text{ 是驻点}$$

但 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处严格单调递增，不是极值点。

    y
    │   ╱
    │  ╱
    │ ╱●  ← 驻点但不是极值点
    │╱
────┼────→ x
    0

4.5 极值点的判别

寻找极值点的步骤：

1. 求 $f^{\prime }(x)$
2. 解方程 $f^{\prime }(x)=0$，找出所有驻点
3. 对每个驻点 $x_0$，检验：
   • 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 左侧 $>0$，右侧 $<0$ ⟹ $x_0$ 是极大值点
   • 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 左侧 $<0$，右侧 $>0$ ⟹ $x_0$ 是极小值点
   • 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧同号 ⟹ $x_0$ 不是极值点

（详细判别法将在第六章中值定理中讨论）

第五部分：导数运算法则 | Derivative Rules

（注：本部分内容在上传的材料中未详细展开，以下根据标准教材补充）

5.1 四则运算法则

定理 5.4（导数的线性性质）

若函数 $u(x),v(x)$ 在点 $x$ 可导，则：

（1）线性组合： $$\boxed{[\alpha u(x)+\beta v(x){]}^{\prime }=\alpha u^{\prime }(x)+\beta v^{\prime }(x)}$$

其中 $\alpha ,\beta$ 为常数。

证明：利用极限的线性性质即可。✓

定理 5.5（乘积法则，Leibniz Rule）

若函数 $u(x),v(x)$ 在点 $x$ 可导，则： $$\boxed{[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)}$$

助记：$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$（"前导后不导，前不导后导"）

证明： $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$$

加减项 $u(x+\Delta x)v(x)$： $$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)[v(x+\Delta x)-v(x)]+v(x)[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }u(x+\Delta x)\cdot \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}+v(x)\cdot \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}$$

由 $u$ 可导必连续：${\lim }_{\Delta x\to 0}u(x+\Delta x)=u(x)$，因此： $$=u(x)v^{\prime }(x)+v(x)u^{\prime }(x)$$

证毕。✓

推广（三个函数）： $$(uvw{)}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }$$

定理 5.6（商法则，Quotient Rule）

若函数 $u(x),v(x)$ 在点 $x$ 可导，且 $v(x)\ne 0$，则： $$\boxed{{\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}}$$

助记：${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$（"子导母不导减子不导母导，母平方"）

证明：由乘积法则，令 $y=u\cdot \frac{1}{v}$： $$y^{\prime }=u^{\prime }\cdot \frac{1}{v}+u\cdot {\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }$$

而： $${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{v(x+\Delta x)}-\frac{1}{v(x)}}{\Delta x}$$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v(x)-v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}$$

$$=-\frac{v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}$$

因此： $$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{v}-\frac{u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

证毕。✓

5.2 复合函数求导（链式法则）★★★

定理 5.7（链式法则，Chain Rule）

设函数 $u=g(x)$ 在点 $x$ 可导，函数 $y=f(u)$ 在对应点 $u=g(x)$ 可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在点 $x$ 可导，且： $$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$$

即： $$\boxed{[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)}$$

证明（概要）：

利用有限增量公式： $$\Delta y=f^{\prime }(u)\Delta u+o(\Delta u)$$

$$\Delta u=g^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)$$

代入并取极限即可。（详细证明略）✓

链式法则的记忆： $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

看起来像"分数约分"（虽然严格来说不是分数）。

例 5.9：求 $y=\sin (2x^2+1)$ 的导数

解：

令 $u=2x^2+1$，则 $y=\sin u$。

$$\frac{dy}{du}=\cos u=\cos (2x^2+1)$$

$$\frac{du}{dx}=4x$$

由链式法则： $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=\cos (2x^2+1)\cdot 4x$$

$$=\boxed{4x\cos (2x^2+1)}$$

例 5.10：求 $y=e^{\sin x}$ 的导数

解：

令 $u=\sin x$，则 $y=e^u$。

$$\frac{dy}{du}=e^u=e^{\sin x}$$

$$\frac{du}{dx}=\cos x$$

$$\frac{dy}{dx}=e^{\sin x}\cdot \cos x=\boxed{e^{\sin x}\cos x}$$

5.3 反函数求导

定理 5.8（反函数导数定理）

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调、连续且可导，$f^{\prime }(x)\ne 0$。则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在对应区间 $J=f(I)$ 上也可导，且： $$\boxed{[f^{-1}{]}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}\text{或}\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$$

证明（几何直观）：

反函数的图像是原函数图像关于直线 $y=x$ 的对称图形。切线斜率互为倒数。

严格证明： $$\Delta x=f^{-1}(y+\Delta y)-f^{-1}(y)$$

$$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$$

取极限： $$\frac{dx}{dy}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

证毕。✓

例 5.11：求 $y=\arcsin x$ 的导数

解：

$y=\arcsin x$ 是 $x=\sin y$ 的反函数。

$$\frac{dx}{dy}=\cos y$$

由反函数导数定理： $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y}$$

由 $x=\sin y$，且 $y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，有 $\cos y\ge 0$： $$\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$$

因此： $$\boxed{(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$

5.4 隐函数求导

对于隐函数方程 $F(x,y)=0$，无法显式解出 $y=f(x)$ 时，可以对方程两边同时对 $x$ 求导，利用链式法则求出 $\frac{dy}{dx}$。

例 5.12：求由方程 $x^2+y^2=1$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数

解：

对方程两边对 $x$ 求导： $$\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(1)$$

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

解得： $$\boxed{\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}(y\ne 0)}$$

第六部分：导数计算综合示例 | Comprehensive Examples

6.1 基本函数导数应用

例 6.1：求下列函数的导数

(1) $y=x^5+3x^3-2x+7$

解： $$y^{\prime }=5x^4+9x^2-2$$

(2) $y=\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}$

解： $$y=x^{\frac{1}{2}}+x^{-2}$$

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-2x^{-3}=\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x^3}}$$

(3) $y=e^x\sin x$

解（乘积法则）： $$y^{\prime }=(e^x{)}^{\prime }\sin x+e^x(\sin x{)}^{\prime }$$

$$=e^x\sin x+e^x\cos x$$

$$=\boxed{e^x(\sin x+\cos x)}$$

(4) $y=\frac{\ln x}{x}$

解（商法则）： $$y^{\prime }=\frac{(\ln x{)}^{\prime }\cdot x-\ln x\cdot (x{)}^{\prime }}{x^2}$$

$$=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}$$

$$=\boxed{\frac{1-\ln x}{x^2}}$$

6.2 复合函数求导应用

例 6.2：求 $y=\ln (\cos x)$ 的导数

解：

令 $u=\cos x$，则 $y=\ln u$。

$$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}=\frac{1}{\cos x}$$