📖 第十一章：反常积分理论

Complete Knowledge Architecture

完整知识体系与出版级学术架构

献给所有探索无穷与无界之美的数学学习者

编著：AI Knowledge Architect
基于：华东师范大学《数学分析》第五版
Academic Level: Graduate Mathematical Analysis

"The infinite and the unbounded are not barriers,
but gateways to deeper understanding."
—— 致敬 Augustin-Louis Cauchy, Karl Weierstrass

📑 目录 TABLE OF CONTENTS

PART II: 无穷积分理论 Improper Integrals of the First Kind

定义与基本性质
Cauchy收敛准则
非负函数的判别法
一般函数的判别法

PART III: 瑕积分理论 Improper Integrals of the Second Kind

定义与基本性质
判别法体系
对比研究：无穷积分vs瑕积分

PART V: 应用与习题 Applications and Problems

物理与工程应用
完整习题解答
高级专题研究

PART VI: 总结与展望 Summary and Outlook

知识体系总结
与后续课程的联系
致敬与参考文献

📘 第一部分：总览——反常积分的完整知识地图

1.1 大师级思维导图 Master Mind Map

mindmap
  root((第十一章<br/>反常积分理论<br/>IMPROPER INTEGRALS))
    A[理论基础<br/>Foundations]
      A1[定积分的局限性<br/>Limitations]
        A11[区间有穷性要求]
        A12[函数有界性要求]
      A2[引发问题<br/>Motivating Problems]
        A21[第二宇宙速度<br/>Escape Velocity]
        A22[流体力学<br/>Fluid Dynamics]
        A23[概率分布<br/>Probability]
        A24[物理场论<br/>Field Theory]
      A3[历史发展<br/>History]
        A31[Cauchy 1823]
        A32[Dirichlet 1829]
        A33[Weierstrass]
        A34[现代理论]
    
    B[无穷积分<br/>Type I]
      B1[定义<br/>Definition]
        B11[单侧无穷 ∫_a^∞]
        B12[双侧无穷 ∫_-∞^∞]
        B13[收敛与发散]
      B2[基本性质<br/>Properties]
        B21[Cauchy准则]
        B22[线性性质]
        B23[区间可加性]
        B24[绝对值不等式]
      B3[判别法<br/>Tests]
        B31[比较判别法<br/>Comparison]
        B32[Cauchy判别法<br/>p-test]
        B33[Dirichlet判别法]
        B34[Abel判别法]
      B4[标准积分<br/>Standards]
        B41[∫dx/x^p, p>1✓]
        B42[∫e^-x dx]
        B43[∫sin x/x dx]
    
    C[瑕积分<br/>Type II]
      C1[定义<br/>Definition]
        C11[单瑕点 ∫_a^b]
        C12[多瑕点]
        C13[瑕点类型]
      C2[基本性质<br/>Properties]
        C21[Cauchy准则]
        C22[线性性质]
        C23[区间可加性]
      C3[判别法<br/>Tests]
        C31[比较判别法]
        C32[q-判别法, q<1✓]
        C33[Dirichlet判别法]
        C34[Abel判别法]
      C4[标准积分<br/>Standards]
        C41[∫dx/x^q, q<1✓]
        C42[∫dx/√(1-x²)]
    
    D[混合型<br/>Mixed Type]
      D1[既无穷又瑕<br/>Both]
      D2[分段讨论<br/>Partition]
      D3[综合判别<br/>Combined Tests]
      D4[典型例子<br/>Examples]
        D41[∫_0^∞ x^α/(1+x)]
        D42[∫_0^∞ dx/x^p]
    
    E[收敛理论<br/>Convergence]
      E1[绝对收敛<br/>Absolute]
        E11[定义 ∫|f|收敛]
        E12[必收敛性质]
        E13[判别方法]
      E2[条件收敛<br/>Conditional]
        E21[∫f收敛但∫|f|发散]
        E22[振荡积分]
        E23[∫sin x/x^p]
      E3[一致收敛<br/>Uniform]
        E31[含参变量]
        E32[Weierstrass判别法]
    
    F[特殊函数<br/>Special Functions]
      F1[Γ函数<br/>Gamma]
        F11[定义 Γ(s)]
        F12[递推公式]
        F13[应用]
      F2[B函数<br/>Beta]
        F21[定义 B(p,q)]
        F22[与Γ关系]
      F3[重要积分<br/>Key Integrals]
        F31[Gauss积分]
        F32[Dirichlet积分]
        F33[Fresnel积分]
    
    G[应用领域<br/>Applications]
      G1[物理学<br/>Physics]
        G11[量子力学]
        G12[统计物理]
        G13[电磁学]
      G2[概率论<br/>Probability]
        G21[正态分布]
        G22[期望与方差]
      G3[工程技术<br/>Engineering]
        G31[信号处理]
        G32[控制理论]
    
    H[理论拓展<br/>Extensions]
      H1[Lebesgue积分]
      H2[测度论基础]
      H3[泛函分析]
      H4[复变函数]

1.2 三维知识架构 3D Knowledge Architecture

graph TB
    subgraph "理论层 Theoretical Layer"
        T1[定义层<br/>Definitions]
        T2[性质层<br/>Properties]
        T3[判别层<br/>Criteria]
        T4[应用层<br/>Applications]
    end
    
    subgraph "类型层 Type Layer"
        Type1[无穷积分<br/>Type I]
        Type2[瑕积分<br/>Type II]
        Type3[混合型<br/>Mixed]
    end
    
    subgraph "方法层 Method Layer"
        M1[直接计算<br/>Direct]
        M2[比较法<br/>Comparison]
        M3[极限法<br/>Limit]
        M4[变换法<br/>Transform]
    end
    
    T1 --> T2 --> T3 --> T4
    Type1 -.-> T1 & T2 & T3 & T4
    Type2 -.-> T1 & T2 & T3 & T4
    Type3 -.-> T1 & T2 & T3 & T4
    
    M1 --> Type1 & Type2 & Type3
    M2 --> Type1 & Type2 & Type3
    M3 --> Type1 & Type2 & Type3
    M4 --> Type1 & Type2 & Type3
    
    style T1 fill:#e1f5ff
    style T2 fill:#fff4e1
    style T3 fill:#ffe1f5
    style T4 fill:#e1ffe1

1.3 核心知识骨架 Core Knowledge Skeleton

反常积分的双重本质 Dual Nature

维度	无穷积分	瑕积分	统一性
英文	Improper Integral of the First Kind	Improper Integral of the Second Kind	Improper Integrals
积分域	无穷区间 $[a, + \infty)$	有界区间 $(a, b]$	突破Riemann限制
无界性	函数有界	函数无界（瑕点）	极限定义
收敛定义	$lim_{u \to + \infty} \int_{a}^{u} f$	$lim_{u \to a^{+}} \int_{u}^{b} f$	Cauchy准则
标准形式	$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}$	$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{q}}$	幂函数型
收敛条件	$p > 1$	$q < 1$	指数方向相反
物理意义	无限延伸的作用	奇点附近的效应	实际问题建模

🎓 第二部分：历史脉络与理论动机

2.1 历史时间线 Historical Timeline

timeline
    title 反常积分理论的历史发展
    
    1668 : James Gregory
         : 首次遇到发散级数问题
    
    1713 : Leibniz & Johann Bernoulli
         : 讨论 ∫dx/x 的意义
    
    1768 : Euler
         : Γ函数的早期研究
         : ∫_0^∞ e^(-x²) dx = √π/2
    
    1823 : Augustin-Louis Cauchy
         : 系统建立反常积分理论
         : 收敛判别准则
         : Cauchy主值概念
    
    1829 : Peter Gustav Lejeune Dirichlet
         : Dirichlet判别法
         : ∫_0^∞ sin x/x dx = π/2
    
    1839 : Niels Henrik Abel
         : Abel判别法
         : 一致收敛性研究
    
    1850s : Karl Weierstrass
         : 严格化极限理论
         : ε-δ语言
    
    1854 : Bernhard Riemann
         : Riemann积分理论
         : 为反常积分提供基础
    
    1902 : Henri Lebesgue
         : Lebesgue积分理论
         : 统一处理各类积分
    
    1930s : Modern Era
         : 测度论框架
         : 泛函分析联系

2.2 引发反常积分的三大问题 Three Motivating Problems

问题I：第二宇宙速度（无穷积分的起源）

物理背景：

在地球表面垂直发射火箭
要使其克服地球引力无限远离地球
初速度至少要多大？

数学建模：

设：

地球半径 $R \approx 6.37 \times 1 0^{6}$ m
地面重力加速度 $g \approx 9.8$ m/s²
火箭质量 $m$

万有引力定律：距地心 $x \geq R$ 处的引力 $F (x) = \frac{GM m}{x ^{2}} = \frac{m g R ^{2}}{x ^{2}}$

其中 $G$ 是万有引力常数， $M$ 是地球质量。

功的计算：从地表（ $x = R$ ）上升到距地心 $r$ 处需克服引力做功 $W_{r} = \int_{R}^{r} F (x) d x = \int_{R}^{r} \frac{m g R ^{2}}{x ^{2}} d x$

$= m g R^{2} [- \frac{1}{x}]_{R}^{r} = m g R^{2} (\frac{1}{R} - \frac{1}{r}) = m g R (1 - \frac{R}{r})$

关键步骤：当 $r \to + \infty$ 时 $W = r \to + \infty lim W_{r} = m g R r \to + \infty lim (1 - \frac{R}{r}) = m g R$

自然表示： $W = \int_{R}^{+ \infty} \frac{m g R ^{2}}{x ^{2}} d x = m g R$

这是一个上限为 $+ \infty$ 的积分！

结果：由能量守恒 $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} \geq m g R$

$v_{0} \geq 2 g R \approx 11.2 km/s$

这就是著名的第二宇宙速度（脱离速度 escape velocity）。

问题II：流体排空时间（瑕积分的起源）

物理背景：

圆柱形容器，内壁高 $h$ ，内半径 $R$
底部有一个半径 $r$ 的小孔（ $r ≪ R$ ）
从盛满水开始打开小孔，流完需要多少时间？

物理定律：Torricelli定律

水位高度为 $H$ 时，流出速度 $v = 2 g H$

微元分析：建立坐标系：水面高度为 $x$ （从底部算起）。

时间 $d t$ 内：

水面下降 $d x$ （ $d x < 0$ ）
桶内水体积变化： $d V_{in} = - π R^{2} d x$ （负号表示减少）
流出水的体积： $d V_{out} = v \cdot π r^{2} d t = 2 gx \cdot π r^{2} d t$

体积守恒： $π R^{2} ∣ d x ∣ = 2 gx \cdot π r^{2} d t$

$d t = \frac{R ^{2}}{r ^{2} 2 gx} ∣ d x ∣ = \frac{R ^{2}}{r ^{2} 2 gx} (- d x)$

（注意 $d x < 0$ ，所以 $∣ d x ∣ = - d x$ ）

总时间：从 $x = h$ 降到 $x = 0$ $T = \int_{h}^{0} \frac{R ^{2}}{r ^{2} 2 gx} (- d x) = \int_{0}^{h} \frac{R ^{2}}{r ^{2} 2 gx} d x$

$= \frac{R ^{2}}{r ^{2} 2 g} \int_{0}^{h} \frac{d x}{x} = \frac{R ^{2}}{r ^{2} 2 g} \int_{0}^{h} x^{- 1/2} d x$

问题：被积函数在 $x = 0$ 处无界（ $x^{- 1/2} \to + \infty$ ）！

解决：定义为极限 $T = ε \to 0^{+} lim \int_{ε}^{h} x^{- 1/2} d x = ε \to 0^{+} lim [2 x]_{ε}^{h}$

$= ε \to 0^{+} lim (2 h - 2 ε) = 2 h$

因此： $T = \frac{R ^{2}}{r ^{2} 2 g} \cdot 2 h = \frac{2 R ^{2} h}{r ^{2} 2 g}$

这是一个瑕积分的实际应用！

问题III：正态分布（概率论的基石）

概率密度函数： $f (x) = \frac{1}{2 π σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}, x \in (- \infty, + \infty)$

归一化条件： $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1$

即： $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}} d x = 2 π σ$

关键：这依赖于Gauss积分 $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x = π$

这是一个双侧无穷积分！

证明思路（经典方法）：

令 $I = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x$ ，则

$I^{2} = (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x) (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- y^{2}} d y)$

$= \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y$

转换为极坐标 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ：

$= \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{+ \infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π \int_{0}^{+ \infty} r e^{- r^{2}} d r$

令 $u = r^{2}$ ， $d u = 2 r d r$ ：

$= 2 π \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} e^{- u} d u = π [- e^{- u}]_{0}^{+ \infty} = π$

因此 $I^{2} = π$ ，故 $I = π$ 。 $□$

2.3 理论必要性分析 Theoretical Necessity

Riemann积分的两大限制

定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 的前提：

区间有穷性： $a, b \in R$ ， $∣ b - a ∣ < + \infty$
函数有界性： $\exists M > 0 : ∣ f (x) ∣ \leq M$ ， $\forall x \in [a, b]$

突破的必要性：

限制	实际需求	数学对象
有穷区间	无限延伸的物理过程	无穷积分
有界函数	奇点附近的物理效应	瑕积分
两者兼有	复杂实际问题	混合型反常积分

理论价值：

完备性：使积分理论更加完整
统一性：统一处理各种极限情况
实用性：解决大量实际问题
桥梁作用：连接Riemann积分与Lebesgue积分

📐 第三部分：核心概念体系

3.1 定义的完整形式 Complete Definitions

Definition 1: 无穷积分（Improper Integral of the First Kind）

定义域：函数 $f$ 定义在无穷区间 $[a, + \infty)$ 上，在任何有限区间 $[a, u]$ 上Riemann可积。

收敛定义： $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x := u \to + \infty lim \int_{a}^{u} f (x) d x (D1)$

若极限存在且有限，称无穷积分收敛（convergent），极限值称为积分值。

若极限不存在或为无穷，称发散（divergent）。

变体形式：

(1) 下限无穷： $\int_{- \infty}^{b} f (x) d x := v \to - \infty lim \int_{v}^{b} f (x) d x$

(2) 双侧无穷： $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x := \int_{- \infty}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{+ \infty} f (x) d x$

其中 $c$ 为任一实数。收敛当且仅当右边两个积分都收敛。

Definition 2: 瑕积分（Improper Integral of the Second Kind）

定义域：函数 $f$ 定义在区间 $(a, b]$ 上，点 $a$ 是其瑕点（singular point），即 $f$ 在 $a$ 的任意右邻域内无界，但在任何内闭区间 $[u, b] \subset (a, b]$ 上Riemann可积。

收敛定义： $\int_{a}^{b} f (x) d x := u \to a^{+} lim \int_{u}^{b} f (x) d x (D2)$

若极限存在且有限，称瑕积分收敛；否则称发散。

变体形式：

(1) 右端点为瑕点： $\int_{a}^{b} f (x) d x := v \to b^{-} lim \int_{a}^{v} f (x) d x$

(2) 内部瑕点：若 $c \in (a, b)$ 是瑕点， $\int_{a}^{b} f (x) d x := \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$

收敛当且仅当右边两个瑕积分都收敛。

(3) 多瑕点：若瑕点为 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ ， $\int_{a}^{b} f (x) d x := i = 0 \sum n - 1 \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x$

每个子区间上按相应形式定义。

Definition 3: 绝对收敛与条件收敛

绝对收敛（Absolute Convergence）：

$若 \int_{a}^{+ \infty} ∣ f (x) ∣ d x 收敛，则称 \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x 绝对收敛 (D3)$

条件收敛（Conditional Convergence）：

$若 \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x 收敛但 \int_{a}^{+ \infty} ∣ f (x) ∣ d x 发散，则称条件收敛 (D4)$

基本关系： $绝对收敛 \Rightarrow 收敛$

但反之不成立。

3.2 符号系统 Notation System

符号	含义	英文	备注
$\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$	无穷积分	Improper integral of Type I	上限无穷
$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$	双侧无穷积分	Doubly infinite integral	两端都无穷
$\int_{a}^{b} f (x) d x$	瑕积分	Improper integral of Type II	瑕点在端点或内部
$[F (x)]_{a}^{+ \infty}$	$lim_{x \to + \infty} F (x) - F (a)$	广义Newton-Leibniz公式	$F$ 为原函数
$\int_{a}^{+ \infty} ∣ f ∣$	$\int_{a}^{+ \infty} ∣ f (x) ∣ d x$	绝对值积分	判断绝对收敛
AC	Absolutely Convergent	绝对收敛	简写
CC	Conditionally Convergent	条件收敛	简写
$P . V . \int$	Cauchy主值	Principal Value	特殊定义

3.3 核心性质体系 Core Properties

Property 1: Cauchy收敛准则（Fundamental Criterion）

无穷积分形式：

$\int_{a}^{+ \infty} f 收敛 \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists G \geq a : \forall u_{1}, u_{2} > G, \int_{u_{1}}^{u_{2}} f (x) d x < ε (P1)$

瑕积分形式：

$\int_{a}^{b} f 收敛 \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0 : \forall u_{1}, u_{2} \in (a, a + δ), \int_{u_{1}}^{u_{2}} f (x) d x < ε (P2)$

意义：

提供了充要条件
不需要知道极限值
是所有判别法的理论基础

Property 2: 线性性质（Linearity）

$\int_{a}^{+ \infty} [k_{1} f (x) + k_{2} g (x)] d x = k_{1} \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x + k_{2} \int_{a}^{+ \infty} g (x) d x (P3)$

前提：右边两个积分都收敛。

Property 3: 区间可加性（Additivity）

$\int_{a}^{+ \infty} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{+ \infty} f, \forall c \in (a, + \infty) (P4)$

推论：反常积分的收敛性与分点 $c$ 的选取无关。

Property 4: 绝对收敛必收敛（AC ⇒ C）

$\int_{a}^{+ \infty} ∣ f ∣ 收敛 \Rightarrow \int_{a}^{+ \infty} f 收敛 (P5)$

且有不等式： $\int_{a}^{+ \infty} f \leq \int_{a}^{+ \infty} ∣ f ∣$

📊 第四部分：无穷积分的定义与性质

4.1 精确数学定义

4.1.1 单侧无穷积分

上限无穷的情形：

设函数 $f : [a, + \infty) \to R$ 在任何有限区间 $[a, u]$ 上Riemann可积。

定义函数： $F : [a, + \infty) \to R, F (u) = \int_{a}^{u} f (x) d x$

定义： $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = {lim_{u \to + \infty} F (u) 不存在或 \pm \infty 若极限存在且有限（收敛）（发散）$

下限无穷的情形：

类似地，对于 $f : (- \infty, b] \to R$ ： $\int_{- \infty}^{b} f (x) d x = v \to - \infty lim \int_{v}^{b} f (x) d x$

4.1.2 双侧无穷积分

定义：对于 $f : (- \infty, + \infty) \to R$ ，选择任一 $c \in R$ ：

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x := \int_{- \infty}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{+ \infty} f (x) d x$

收敛条件：当且仅当右边两个积分都收敛时，左边才收敛。

重要注意：

分点 $c$ 的选择不影响收敛性
但影响每个部分的值
收敛时，总和与 $c$ 无关

反例（不能用主值定义）：

$\int_{- \infty}^{+ \infty} x d x$

若定义为 $lim_{R \to + \infty} \int_{- R}^{R} x d x = 0$ ，

但按定义： $\int_{- \infty}^{0} x d x = - \infty, \int_{0}^{+ \infty} x d x = + \infty$

都发散，所以积分发散。

Cauchy主值： $P . V . \int_{- \infty}^{+ \infty} x d x := R \to + \infty lim \int_{- R}^{R} x d x = 0$

这是不同的定义！

4.3 标准积分表 Standard Integral Table

4.3.1 p-积分（Power Integral）

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}} = {\frac{1}{p - 1} + \infty p > 1 （收敛） p \leq 1 （发散） (S1)$

证明：

(1) $p \neq = 1$ 时： $\int_{1}^{u} \frac{d x}{x ^{p}} = [\frac{x ^{1 - p}}{1 - p}]_{1}^{u} = \frac{1}{1 - p} (u^{1 - p} - 1)$

若 $p > 1$ ： $1 - p < 0$ ， $u^{1 - p} \to 0$ ，积分收敛至 $\frac{1}{p - 1}$
若 $p < 1$ ： $1 - p > 0$ ， $u^{1 - p} \to + \infty$ ，积分发散

(2) $p = 1$ 时： $\int_{1}^{u} \frac{d x}{x} = ln u \to + \infty$

发散。 $□$

4.3.2 指数积分（Exponential Integral）

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- αx} d x = {\frac{1}{α} + \infty α > 0 （收敛） α \leq 0 （发散） (S2)$

证明： $\int_{0}^{u} e^{- αx} d x = [- \frac{1}{α} e^{- αx}]_{0}^{u} = \frac{1}{α} (1 - e^{- αu})$

当 $α > 0$ 时， $e^{- αu} \to 0$ （ $u \to + \infty$ ），积分收敛。 $□$

4.3.3 Gauss积分（Gaussian Integral）

$\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x = π (S3)$

证明（经典二重积分法，见2.2节）。

推广： $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- α x^{2}} d x = \frac{π}{α}, α > 0$

$\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- α x^{2} + β x} d x = \frac{π}{α} e^{β^{2} / (4 α)}$

4.3.4 对数积分（Logarithmic Integral）

$\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{p}} = {\frac{1}{p - 1} + \infty p > 1 （收敛） p \leq 1 （发散） (S4)$

证明：令 $t = ln x$ ， $d t = \frac{d x}{x}$ ： $\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{p}} = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{p}}$

这就是标准p-积分。 $□$

4.3.5 振荡积分（Oscillatory Integrals）

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x = \frac{π}{2} (S5)$

这是Dirichlet积分（条件收敛）。

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x ^{p}} d x ⎩ ⎨ ⎧ 绝对收敛条件收敛发散 p > 1 0 < p \leq 1 p \leq 0 (S6)$

4.4 计算方法 Computation Methods

4.4.1 Newton-Leibniz公式的推广

定理：设 $F$ 是 $f$ 在 $[a, + \infty)$ 上的一个原函数，则

$\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = x \to + \infty lim F (x) - F (a) =: [F (x)]_{a}^{+ \infty} (M1)$

记号： $F (+ \infty) := lim_{x \to + \infty} F (x)$

4.4.2 换元积分法

定理：设 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛， $x = φ (t)$ 满足：

$φ : [α, + \infty) \to [a, + \infty)$ 可导且连续
$φ (α) = a$ ， $lim_{t \to + \infty} φ (t) = + \infty$
$φ$ 严格单调（保证可逆）

则： $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{α}^{+ \infty} f [φ (t)] φ^{'} (t) d t (M2)$

注意：必须验证换元后的积分也收敛！

例子：计算 $\int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x$

解：令 $t = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ ，则...

实际上，更简单的方法是令 $u = 1 + x^{2}$ ：

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{+ \infty} \frac{d u}{u ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

$□$

4.4.3 分部积分法

定理：设 $u, v$ 在 $[a, + \infty)$ 上可导，则

$\int_{a}^{+ \infty} u d v = [uv]_{a}^{+ \infty} - \int_{a}^{+ \infty} v d u (M3)$

其中 $[uv]_{a}^{+ \infty} = lim_{x \to + \infty} u (x) v (x) - u (a) v (a)$ 。

条件：右边的极限和积分都必须存在。

例子：计算 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{l n x}{x ^{2}} d x$

解：令 $u = ln x$ ， $d v = \frac{d x}{x ^{2}}$ ，则 $d u = \frac{d x}{x}$ ， $v = - \frac{1}{x}$ 。

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{ln x}{x ^{2}} d x = [- \frac{ln x}{x}]_{1}^{+ \infty} + \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{2}} d x$

计算第一项： $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = L^{'} H x \to + \infty lim \frac{1/ x}{1} = 0$

因此： $[- \frac{ln x}{x}]_{1}^{+ \infty} = 0 - 0 = 0$

计算第二项： $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{2}} d x = 1$

答案： $1$ $□$

🔍 第五部分：Cauchy收敛准则

5.1 Cauchy准则的精确陈述

5.1.1 无穷积分的Cauchy准则

定理11.1（Cauchy收敛准则）：

无穷积分 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛的充要条件是：

$\forall ε > 0, \exists G \geq a : \forall u_{1}, u_{2} > G, \int_{u_{1}}^{u_{2}} f (x) d x < ε$

证明：

必要性（ $\Rightarrow$ ）：

设 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = I$ 收敛，即 $u \to + \infty lim F (u) = I, 其中 F (u) = \int_{a}^{u} f (x) d x$

由函数极限的Cauchy准则： $\forall ε > 0, \exists G \geq a : \forall u_{1}, u_{2} > G, ∣ F (u_{2}) - F (u_{1}) ∣ < ε$

而 $F (u_{2}) - F (u_{1}) = \int_{a}^{u_{2}} f - \int_{a}^{u_{1}} f = \int_{u_{1}}^{u_{2}} f (x) d x$

因此条件成立。

充分性（ $\Leftarrow$ ）：

设Cauchy条件成立，即 $\forall ε > 0, \exists G : \forall u_{1}, u_{2} > G, \int_{u_{1}}^{u_{2}} f < ε$

这等价于 $∣ F (u_{2}) - F (u_{1}) ∣ < ε$ ，

即函数 $F (u)$ 满足Cauchy准则，故极限 $lim_{u \to + \infty} F (u)$ 存在。 $□$

5.1.2 等价形式

推论（单侧形式）：

$\forall ε > 0, \exists G \geq a : \forall u > G, \int_{G}^{u} f (x) d x < ε$

证明：

取 $u_{1} = G$ ， $u_{2} = u$ 在定理中。 $□$

几何意义：

              充分大的G
                 ↓
    ___________| |____________________> +∞
    a          G u₁  u₂
    
    对于所有 u₁, u₂ > G，
    从 u₁ 到 u₂ 的"尾部积分"可以任意小

5.1.3 瑕积分的Cauchy准则

定理11.5（瑕积分的Cauchy准则）：

设 $a$ 为 $f$ 的瑕点，瑕积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 收敛的充要条件是：

$\forall ε > 0, \exists δ > 0 : \forall u_{1}, u_{2} \in (a, a + δ), \int_{u_{1}}^{u_{2}} f (x) d x < ε$

证明：类似无穷积分的证明，利用函数极限的Cauchy准则。 $□$

5.2 Cauchy准则的应用

应用1：证明发散

例题：证明 $\int_{1}^{+ \infty} sin x d x$ 发散。

证明：

对于 $u_{2} = u_{1} + 2 π$ （ $u_{1} > 1$ ）：

$\int_{u_{1}}^{u_{1} + 2 π} sin x d x = [- cos x]_{u_{1}}^{u_{1} + 2 π} = ∣ - cos (u_{1} + 2 π) + cos u_{1} ∣ = 0$

这个特殊选择不能说明什么。让我们换一个：

取 $u_{1} = 2 kπ$ ， $u_{2} = (2 k + 1) π$ ：

$\int_{2 kπ}^{(2 k + 1) π} sin x d x = [- cos x]_{2 kπ}^{(2 k + 1) π} = - cos (2 k + 1) π + cos 2 kπ = - (- 1) + 1 = 2$

因此，对于任意大的 $G$ ，总可以选择 $u_{1}, u_{2} > G$ 使得 $\int_{u_{1}}^{u_{2}} sin x d x = 2$

这违反了Cauchy准则（取 $ε = 1$ ），故积分发散。 $□$

📏 第六部分：非负函数的判别法

6.1 比较判别法 Comparison Test

6.1.1 基本比较判别法

定理11.2（比较原则）：

设 $f, g$ 在 $[a, + \infty)$ 上非负，在任何有限区间 $[a, u]$ 上可积，且

$0 \leq f (x) \leq g (x), \forall x \in [a, + \infty)$

则：

大收则小收： $\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛
小散则大散： $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 发散 $\Rightarrow$ $\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x$ 发散

证明：

对于任何 $u > a$ ： $\int_{a}^{u} f (x) d x \leq \int_{a}^{u} g (x) d x$

情况1：设 $\int_{a}^{+ \infty} g = I < + \infty$ ，则对所有 $u > a$ ： $\int_{a}^{u} f \leq \int_{a}^{u} g \leq I$

因此 $F (u) = \int_{a}^{u} f$ 单调递增且有上界，由单调有界原理， $lim_{u \to + \infty} F (u)$ 存在。

情况2：若 $\int_{a}^{+ \infty} f = + \infty$ ，则对任何 $M > 0$ ，存在 $u$ 使得 $\int_{a}^{u} f > M$

因此 $\int_{a}^{u} g \geq \int_{a}^{u} f > M$

故 $\int_{a}^{+ \infty} g = + \infty$ 。 $□$

6.1.2 极限形式的比较判别法

推论1（极限比较判别法）：

设 $f, g$ 在 $[a, + \infty)$ 上： $f (x) \geq 0$ ， $g (x) > 0$ ，且

$x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = c$

则：

(i) $0 < c < + \infty$ ⇒ $\int_{a}^{+ \infty} f$ 与 $\int_{a}^{+ \infty} g$ 同敛散

(ii) $c = 0$ 且 $\int_{a}^{+ \infty} g$ 收敛 ⇒ $\int_{a}^{+ \infty} f$ 收敛

(iii) $c = + \infty$ 且 $\int_{a}^{+ \infty} g$ 发散 ⇒ $\int_{a}^{+ \infty} f$ 发散

证明：

(i) 当 $0 < c < + \infty$ 时，由极限定义， $\exists M > a$ ，当 $x > M$ 时： $\frac{c}{2} < \frac{f ( x )}{g ( x )} < 2 c$

即 $\frac{c}{2} g (x) < f (x) < 2 c \cdot g (x)$

应用基本比较判别法于 $[M, + \infty)$ 上，结论成立。

再由区间可加性，原积分同敛散。

(ii) 和 (iii) 类似。 $□$

6.1.3 应用示例

例题1：判断 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2} + s i n x}$ 的敛散性。

解：

Step 1：找合适的比较函数。

注意到 $- 1 \leq sin x \leq 1$ ，所以 $x^{2} - 1 \leq x^{2} + sin x \leq x^{2} + 1$

当 $x \geq 2$ 时， $x^{2} - 1 \geq \frac{x ^{2}}{2}$ ，因此： $\frac{1}{x ^{2} + sin x} \leq \frac{1}{x ^{2} - 1} \leq \frac{2}{x ^{2}}$

Step 2：应用比较判别法。

因为 $\int_{2}^{+ \infty} \frac{2}{x ^{2}} d x$ 收敛（ $p = 2 > 1$ ），

由比较判别法， $\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2} + s i n x}$ 收敛。

再加上 $\int_{1}^{2}$ 是正常积分，故原积分收敛。 $□$

例题2：判断 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{x + 1}{x ^{3} + x} d x$ 的敛散性。

解：

方法1（等价无穷小）：

当 $x \to + \infty$ 时： $\frac{x + 1}{x ^{3} + x} \sim \frac{x}{x ^{3}} = \frac{1}{x ^{2}}$

因此： $x \to + \infty lim \frac{\frac{x + 1}{x ^{3} + x}}{\frac{1}{x ^{2}}} = x \to + \infty lim \frac{( x + 1 ) x ^{2}}{x ^{3} + x} = x \to + \infty lim \frac{x ^{3} + x ^{2}}{x ^{3} + x} = 1$

由极限比较判别法，原积分与 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}}$ 同敛散，故收敛。 $□$

6.2 Cauchy判别法（p-判别法）

6.2.1 Cauchy判别法的基本形式

推论2（Cauchy判别法）：

设 $f$ 在 $[a, + \infty)$ 上非负，在任何有限区间上可积。

(i) 若存在 $p > 1$ 和 $M > 0$ ，使得 $f (x) \leq \frac{M}{x ^{p}}, \forall x \geq a$ 则 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛。

(ii) 若存在 $p \leq 1$ 和 $M > 0$ ，使得 $f (x) \geq \frac{M}{x ^{p}}, \forall x \geq a$ 则 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 发散。

证明：

基于标准p-积分的敛散性和比较判别法。 $□$

6.2.2 Cauchy判别法的极限形式

推论3（Cauchy判别法极限形式）：

设 $f$ 在 $[a, + \infty)$ 上非负，在任何有限区间上可积，且

$x \to + \infty lim x^{p} f (x) = λ$

则：

(i) 当 $p > 1$ ， $0 \leq λ < + \infty$ 时， $\int_{a}^{+ \infty} f$ 收敛

(ii) 当 $p \leq 1$ ， $0 < λ \leq + \infty$ 时， $\int_{a}^{+ \infty} f$ 发散

证明：

取 $g (x) = \frac{1}{x ^{p}}$ ，则 $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to + \infty lim x^{p} f (x) = λ$

应用极限比较判别法。 $□$

6.2.3 应用示例

例题3：判断 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{α} + 1}$ 的敛散性（ $α \in R$ ）。

解：

Step 1：计算极限。

$x \to + \infty lim x^{α} \cdot \frac{1}{x ^{α} + 1} = x \to + \infty lim \frac{x ^{α}}{x ^{α} + 1} = x \to + \infty lim \frac{1}{1 + x ^{- α}}$

分类讨论：

当 $α > 0$ 时： $x^{- α} \to 0$ ，极限 $= 1$
当 $α = 0$ 时： $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
当 $α < 0$ 时： $x^{- α} \to + \infty$ ，极限 $= 0$

Step 2：应用Cauchy判别法（取 $p = α$ ）。

(a) $α > 1$ 时：

$p = α > 1$ ， $λ = 1 \in (0, + \infty)$

由推论3 (i)，积分收敛。

(b) $α = 1$ 时：

$\frac{1}{x + 1} \sim \frac{1}{x} (x \to + \infty)$

与 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x}$ 同敛散，发散。

(c) $0 < α < 1$ 时：

$p = α < 1$ ， $λ = 1 > 0$

由推论3 (ii)，积分发散。

(d) $α \leq 0$ 时：

$\frac{1}{x ^{α} + 1} \geq \frac{1}{2 x ^{α}}$ （当 $x \geq 1$ 时）

若 $α = 0$ ：常数积分，发散。

若 $α < 0$ ： $x^{α} = \frac{1}{x ^{∣ α ∣}} \to 0$ ，被积函数 $\to \frac{1}{2}$ ，不趋于零，发散。

综合结论：

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{α} + 1} {收敛发散 α > 1 α \leq 1$

$□$

例题4：判断 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{3} + x ^{2} + 1}$ 的敛散性。

解：

方法（Cauchy判别法极限形式）：

$x \to + \infty lim x^{p} \cdot \frac{1}{x ^{3} + x ^{2} + 1} = x \to + \infty lim \frac{x ^{p}}{x ^{3} ( 1 + x ^{- 1} + x ^{- 3} )}$

$= x \to + \infty lim \frac{x ^{p}}{x ^{3/2} 1 + x ^{- 1} + x ^{- 3}} = x \to + \infty lim \frac{x ^{p - 3/2}}{1 + x ^{- 1} + x ^{- 3}}$

要使极限为非零有限值，取 $p = \frac{3}{2}$ ：

$= x \to + \infty lim \frac{1}{1 + x ^{- 1} + x ^{- 3}} = 1$

由于 $p = \frac{3}{2} > 1$ ， $λ = 1 \in (0, + \infty)$ ，

由推论3 (i)，积分收敛。 $□$

6.3 对数型积分的判别

6.3.1 对数阶判别法

引理：对于 $α > 0$ ，有 $x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{α}}{x ^{β}} = 0, \forall β > 0$

即：对数增长比任何正幂次都慢。

证明（L'Hospital规则）：

$x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{α}}{x ^{β}} = x \to + \infty lim \frac{α ( ln x ) ^{α - 1} \cdot \frac{1}{x}}{β x ^{β - 1}} = \frac{α}{β} x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{α - 1}}{x ^{β}}$

递归使用 $α$ 次后，得到 $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x ^{α β}} = 0$ 。 $□$

推论： $\int_{e}^{+ \infty} \frac{( l n x ) ^{α}}{x ^{p}} d x$ 的敛散性由 $p$ 决定：

若 $p > 1$ ：收敛（无论 $α$ 为何值）
若 $p \leq 1$ ：
- $α < 0$ ：需进一步分析
- $α \geq 0$ ：发散

例题5：判断 $\int_{2}^{+ \infty} \frac{l n x}{x ^{3/2}} d x$ 的敛散性。

解：

$x \to + \infty lim x^{3/2} \cdot \frac{ln x}{x ^{3/2}} = x \to + \infty lim ln x = + \infty$

这样不行。应该取更大的 $p$ ：

$x \to + \infty lim x^{5/4} \cdot \frac{ln x}{x ^{3/2}} = x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{1/4}} = 0$

由于 $p = \frac{5}{4} > 1$ ， $λ = 0 < + \infty$ ，

积分收敛。 $□$

6.3.2 多重对数积分

标准积分：

$\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{p}} {收敛发散 p > 1 p \leq 1$

证明：令 $t = ln x$ ， $d t = \frac{d x}{x}$ ：

$\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{p}} = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{p}}$

这是标准p-积分。 $□$

推广：

$\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( ln x ) ( ln ln x ) ^{q}} {收敛发散 q > 1 q \leq 1$

证明：令 $s = ln ln x$ ：

$\int \frac{d x}{x ( ln x ) ( ln ln x ) ^{q}} = \int \frac{d s}{s ^{q}}$

$□$

6.4 判别法决策树

flowchart TD
    Start[非负函数 f ≥ 0] --> Q1{能直接积分?}
    
    Q1 -->|是| Direct[直接计算]
    Q1 -->|否| Q2{有明显的比较函数?}
    
    Q2 -->|是| Compare[比较判别法]
    Q2 -->|否| Q3{类似 1/x^p ?}
    
    Q3 -->|是| Cauchy[Cauchy判别法]
    Q3 -->|否| Q4{含对数?}
    
    Q4 -->|是| Log[对数型判别]
    Q4 -->|否| Limit[计算关键极限]
    
    Compare --> Result1{大收或小散?}
    Result1 -->|大收| Conv1[收敛]
    Result1 -->|小散| Div1[发散]
    
    Cauchy --> Result2{"计算 lim x^p f(x)"}
    Result2 --> Check1{p > 1 且 λ < ∞?}
    Check1 -->|是| Conv2[收敛]
    Check1 -->|否| Check2{p ≤ 1 且 λ > 0?}
    Check2 -->|是| Div2[发散]
    Check2 -->|否| Other[需其他方法]
    
    Log --> LogTransform[换元 t = ln x]
    LogTransform --> Cauchy
    
    Limit --> LimitCompare[极限比较判别法]
    LimitCompare --> Result3{与标准积分比?}
    Result3 --> Conv3[判定]
    
    style Conv1 fill:#9f9
    style Conv2 fill:#9f9
    style Conv3 fill:#9f9
    style Div1 fill:#f99
    style Div2 fill:#f99

🎯 第七部分：一般函数的判别法

7.1 Dirichlet判别法

7.1.1 定理陈述

定理11.3（Dirichlet判别法）：

若：

函数 $F (u) = \int_{a}^{u} f (x) d x$ 在 $[a, + \infty)$ 上有界
函数 $g (x)$ 在 $[a, + \infty)$ 上单调且 $lim_{x \to + \infty} g (x) = 0$

则无穷积分 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) g (x) d x$ 收敛。

7.1.2 证明（利用积分第二中值定理）

证明：

Step 1：建立基本估计。

设 $∣ F (u) ∣ \leq M$ 对所有 $u \in [a, + \infty)$ 成立。

任给 $ε > 0$ ，由条件2， $\exists G \geq a$ ，当 $x > G$ 时， $∣ g (x) ∣ < \frac{ε}{4 M}$

Step 2：对于 $u_{1}, u_{2} > G$ （ $u_{1} < u_{2}$ ），应用积分第二中值定理（Abel引理）。

由于 $g$ 单调，不失一般性设 $g$ 单调递减（递增情形类似），则存在 $ξ \in [u_{1}, u_{2}]$ ，使得

$\int_{u_{1}}^{u_{2}} f (x) g (x) d x = g (u_{1}) \int_{u_{1}}^{ξ} f (x) d x + g (u_{2}) \int_{ξ}^{u_{2}} f (x) d x$

Step 3：估计每一项。

$\int_{u_{1}}^{ξ} f (x) d x = F (ξ) - F (u_{1})$

因此 $\int_{u_{1}}^{ξ} f \leq ∣ F (ξ) ∣ + ∣ F (u_{1}) ∣ \leq 2 M$

类似地 $\int_{ξ}^{u_{2}} f \leq 2 M$

Step 4：综合估计。

$\int_{u_{1}}^{u_{2}} f g \leq ∣ g (u_{1}) ∣ \cdot 2 M + ∣ g (u_{2}) ∣ \cdot 2 M < \frac{ε}{4 M} \cdot 2 M + \frac{ε}{4 M} \cdot 2 M = ε$

由Cauchy收敛准则， $\int_{a}^{+ \infty} f (x) g (x) d x$ 收敛。 $□$

7.1.3 典型应用：振荡积分

例题6（经典）：证明 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x ^{p}} d x$ 当 $p > 0$ 时收敛。

证明：

Step 1：验证条件1（ $F$ 有界）。

$F (u) = \int_{1}^{u} sin x d x = [- cos x]_{1}^{u} = cos 1 - cos u$

显然 $∣ F (u) ∣ \leq ∣ cos 1∣ + ∣ cos u ∣ \leq 2$ ，有界。

Step 2：验证条件2（ $g$ 单调趋零）。

$g (x) = \frac{1}{x ^{p}}$

当 $p > 0$ 时， $g (x)$ 单调递减
$lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x ^{p}} = 0$ ✓

Step 3：应用Dirichlet判别法。

两个条件都满足，故 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x ^{p}} d x$ 收敛（ $p > 0$ ）。 $□$

进一步分析：绝对收敛还是条件收敛？

考虑 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{∣ s i n x ∣}{x ^{p}} d x$ 。

在区间 $[kπ, (k + 1) π]$ （ $k = 1, 2, 3, \dots$ ）上：

$\int_{kπ}^{(k + 1) π} \frac{∣ sin x ∣}{x ^{p}} d x \geq \frac{1}{[( k + 1 ) π ] ^{p}} \int_{kπ}^{(k + 1) π} ∣ sin x ∣ d x$

$= \frac{1}{[( k + 1 ) π ] ^{p}} \cdot 2 = \frac{2}{[( k + 1 ) π ] ^{p}}$

因此：

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{∣ sin x ∣}{x ^{p}} d x \geq k = 1 \sum \infty \frac{2}{[( k + 1 ) π ] ^{p}} \sim k = 2 \sum \infty \frac{1}{k ^{p}}$

这是p-级数：

$p > 1$ 时收敛 ⇒ 绝对收敛
$p \leq 1$ 时发散 ⇒ 条件收敛（因为积分本身收敛）

结论：

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{sin x}{x ^{p}} d x ⎩ ⎨ ⎧ 绝对收敛条件收敛发散 p > 1 0 < p \leq 1 p \leq 0$

7.1.4 其他经典例子

例题7：证明 $\int_{0}^{+ \infty} sin (x^{2}) d x$ 收敛。

证明：

令 $t = x^{2}$ ，则 $d t = 2 x d x$ ， $x = t$ ， $d x = \frac{d t}{2 t}$ 。

$\int_{0}^{+ \infty} sin (x^{2}) d x = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{2 t} d t$

这等价于 $\int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n t}{t ^{1/2}} d t$ 。

由例题6（取 $p = \frac{1}{2}$ ），这个积分收敛。

结论： $\int_{0}^{+ \infty} sin (x^{2}) d x$ 条件收敛。 $□$

注记：这类积分称为Fresnel积分，在光学衍射理论中重要。

实际上： $\int_{0}^{+ \infty} sin (x^{2}) d x = \int_{0}^{+ \infty} cos (x^{2}) d x = \frac{π}{8}$

（需要复变函数理论证明）

7.2 Abel判别法

7.2.1 定理陈述

定理11.4（Abel判别法）：

若：

无穷积分 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛
函数 $g (x)$ 在 $[a, + \infty)$ 上单调有界

则无穷积分 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) g (x) d x$ 收敛。

7.2.2 证明思路

方法1（直接证明）：

类似Dirichlet判别法，利用：

$\int_{a}^{+ \infty} f$ 收敛 ⇒ 对充分大的 $u_{1}, u_{2}$ ， $\int_{u_{1}}^{u_{2}} f < ε$
$g$ 有界： $∣ g (x) ∣ \leq M$
利用分部积分估计

（详细证明留作习题）

方法2（利用Dirichlet判别法）：

设 $h (x) = \int_{x}^{+ \infty} f (t) d t$ （由于 $\int_{a}^{+ \infty} f$ 收敛， $h$ 有定义）。

则：

$h (x) \to 0$ （ $x \to + \infty$ ）
$f (x) = - h^{'} (x)$

利用分部积分： $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = \int_{a}^{b} (- h^{'} (x)) g (x) d x = - [h (x) g (x)]_{a}^{b} + \int_{a}^{b} h (x) g^{'} (x) d x$

令 $b \to + \infty$ ，右边第一项 $\to 0$ （因为 $h \to 0$ ， $g$ 有界）。

右边第二项：由于 $h$ 有界， $g^{'}$ 可积（ $g$ 单调有界 ⇒ $g^{'}$ 可积），可以证明收敛。

（这个证明需要更精细的分析） $□$

7.2.3 应用示例

例题8：证明 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x} \cdot \frac{1}{l n x} d x$ 收敛。

证明：

令 $f (x) = \frac{s i n x}{x}$ ， $g (x) = \frac{1}{l n x}$ 。

验证条件1：由例题6（ $p = 1$ ）， $\int_{1}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x} d x$ 收敛。✓

验证条件2：

$g (x) = \frac{1}{ln x}, x \in [2, + \infty)$

（注意 $x = 1$ 时 $ln 1 = 0$ ，所以从 $x = 2$ 开始）

$g (x) > 0$ 恒成立
$g^{'} (x) = - \frac{1}{x ( l n x ) ^{2}} < 0$ ，故 $g$ 单调递减
$lim_{x \to + \infty} \frac{1}{l n x} = 0$ ，故 $g$ 有界（实际上趋于0）✓

由Abel判别法，原积分收敛。 $□$

7.3 Dirichlet与Abel判别法的对比

7.3.1 条件对比表

判别法	$f$ 的条件	$g$ 的条件	典型应用
Dirichlet	$F (u) = \int_{a}^{u} f$ 有界	$g$ 单调且 $g \to 0$	振荡积分 $\int \frac{s i n x}{x ^{p}}$
Abel	$\int_{a}^{+ \infty} f$ 收敛	$g$ 单调有界	带权振荡积分

7.3.2 关系与选择

关系：

Abel判别法可以看作Dirichlet判别法的推广：

Dirichlet： $F$ 有界 + $g \to 0$
Abel： $\int f$ 收敛（更强条件）+ $g$ 有界（更弱条件）

选择策略：

flowchart TD
    Start[变号函数 f·g] --> Q1{f 是振荡函数?}
    
    Q1 -->|是,如 sin x| Q2{∫f 是否收敛?}
    Q1 -->|否| Other[考虑其他方法]
    
    Q2 -->|不收敛,但有界| Q3{g 单调趋零?}
    Q2 -->|收敛| Q4{g 单调有界?}
    
    Q3 -->|是| Dirichlet[Dirichlet判别法]
    Q3 -->|否| Fail1[不适用]
    
    Q4 -->|是| Abel[Abel判别法]
    Q4 -->|否| Fail2[不适用]
    
    Dirichlet --> Conv1[收敛]
    Abel --> Conv2[收敛]
    
    style Conv1 fill:#9f9
    style Conv2 fill:#99f

7.3.3 综合例题

例题9：讨论 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{c o s x}{x ^{α}} d x$ 的收敛性（ $α \in R$ ）。

解：

情况1： $α > 0$

令 $f (x) = cos x$ ， $g (x) = \frac{1}{x ^{α}}$ 。

$F (u) = \int_{1}^{u} cos x d x = sin u - sin 1$ ，有界（ $∣ F ∣ \leq 2$ ）✓
$g (x) = \frac{1}{x ^{α}}$ 单调递减，且 $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x ^{α}} = 0$ ✓

由Dirichlet判别法，积分收敛。

情况2： $α = 0$

$\int_{1}^{+ \infty} cos x d x = u \to + \infty lim sin u - sin 1$

极限不存在，发散。

情况3： $α < 0$

设 $α = - β$ （ $β > 0$ ），则被积函数为 $x^{β} cos x$ 。

由于 $∣ x^{β} cos x ∣ \leq x^{β}$ ，而 $\int_{1}^{+ \infty} x^{β} d x$ 发散（ $β > 0$ ），

但这不能直接判断...

实际上， $x^{β} cos x$ 不趋于零（振荡且幅度增大），积分发散。

综合结论：

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{cos x}{x ^{α}} d x {收敛发散 α > 0 α \leq 0$

与 $sin x$ 的情形完全相同。 $□$

📐 第八部分：瑕积分的定义与性质

8.1 瑕积分的精确定义

8.1.1 单瑕点情形

定义（左端点为瑕点）：

设函数 $f$ 定义在区间 $(a, b]$ 上，点 $a$ 为其瑕点，即：

$f$ 在 $a$ 的任意右邻域 $(a, a + δ)$ 内无界
$f$ 在任何内闭区间 $[u, b] \subset (a, b]$ 上Riemann可积

定义： $\int_{a}^{b} f (x) d x := u \to a^{+} lim \int_{u}^{b} f (x) d x$

若极限存在且有限，称瑕积分收敛；否则称发散。

定义（右端点为瑕点）：

类似地，若 $b$ 是瑕点： $\int_{a}^{b} f (x) d x := v \to b^{-} lim \int_{a}^{v} f (x) d x$

8.1.2 内点瑕点

定义：若 $c \in (a, b)$ 是瑕点，则

$\int_{a}^{b} f (x) d x := \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$

其中右边两个都是瑕积分（ $c$ 分别作为右端点和左端点的瑕点）。

收敛条件：当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边才收敛。

8.1.3 多瑕点情形

若区间 $[a, b]$ 上有多个瑕点 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ ，则

$\int_{a}^{b} f (x) d x = i = 0 \sum n - 1 \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x$

收敛条件：当且仅当所有子区间上的瑕积分都收敛。

8.2 标准瑕积分

积分类型	标准形式	收敛条件	记忆
无穷积分	$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}$	$p > 1$	指数"越大越好"
瑕积分	$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{q}}$	$q < 1$	指数"越小越好"

8.2.2 其他标准瑕积分

(1) 反三角函数型：

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 - x ^{2}} = [arcsin x]_{0}^{1} = \frac{π}{2}$

虽然被积函数在 $x = 1$ 处无界，但积分收敛。

(2) 对数型：

$\int_{0}^{1} ∣ ln x ∣ d x = \int_{0}^{1} (- ln x) d x$

令 $u = ln x$ ， $x = e^{u}$ ， $d x = e^{u} d u$ ：

$= \int_{- \infty}^{0} (- u) e^{u} d u$

分部积分：

$= [- u e^{u}]_{- \infty}^{0} + \int_{- \infty}^{0} e^{u} d u = 0 + [e^{u}]_{- \infty}^{0} = 1$

收敛。

(3) 复合型：

$\int_{0}^{1} \frac{ln x}{x} d x$

令 $t = x$ ， $x = t^{2}$ ， $d x = 2 t d t$ ：

$= \int_{0}^{1} \frac{ln ( t ^{2} )}{t} \cdot 2 t d t = 4 \int_{0}^{1} t ln t d t$

分部积分（或直接计算）：

$= 4 [\frac{t ^{2} ln t}{2} - \frac{t ^{2}}{4}]_{0}^{1} = 4 (0 - \frac{1}{4}) = - 1$

收敛。

8.3 瑕积分的基本性质

性质1：Cauchy收敛准则

$\int_{a}^{b} f 收敛 \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0 : \forall u_{1}, u_{2} \in (a, a + δ), \int_{u_{1}}^{u_{2}} f < ε$

性质2：线性性质

$\int_{a}^{b} [k_{1} f + k_{2} g] = k_{1} \int_{a}^{b} f + k_{2} \int_{a}^{b} g$

前提：右边两个瑕积分都收敛。

性质3：区间可加性

$\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f, \forall c \in (a, b)$

其中 $\int_{c}^{b} f$ 是正常定积分（若 $f$ 在 $[c, b]$ 上有界）。

推论：瑕积分的收敛性与分点 $c$ 的选取无关。

性质4：绝对收敛必收敛

$\int_{a}^{b} ∣ f ∣ 收敛 \Rightarrow \int_{a}^{b} f 收敛$

且 $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$

🔬 第九部分：瑕积分的判别法体系

9.1 比较判别法

9.1.1 基本比较判别法

定理11.6（比较原则）：

设 $f, g$ 定义在 $(a, b]$ 上， $a$ 为共同瑕点，在任何 $[u, b] \subset (a, b]$ 上可积，且

$0 \leq f (x) \leq g (x), \forall x \in (a, b]$

则：

大收则小收： $\int_{a}^{b} g$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int_{a}^{b} f$ 收敛
小散则大散： $\int_{a}^{b} f$ 发散 $\Rightarrow$ $\int_{a}^{b} g$ 发散

证明：类似无穷积分的证明。 $□$

9.1.2 极限形式的比较判别法

推论（极限比较判别法）：

设 $f (x) \geq 0$ ， $g (x) > 0$ ，且

$x \to a^{+} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = c$

则：

(i) $0 < c < + \infty$ ⇒ $\int_{a}^{b} f$ 与 $\int_{a}^{b} g$ 同敛散

(ii) $c = 0$ 且 $\int_{a}^{b} g$ 收敛 ⇒ $\int_{a}^{b} f$ 收敛

(iii) $c = + \infty$ 且 $\int_{a}^{b} g$ 发散 ⇒ $\int_{a}^{b} f$ 发散

9.2 Cauchy判别法（q-判别法）

9.2.1 基本形式

推论（Cauchy判别法）：

设 $f$ 在 $(a, b]$ 上非负， $a$ 为瑕点。

(i) 若存在 $0 < q < 1$ 和 $M > 0$ ，使得 $f (x) \leq \frac{M}{( x - a ) ^{q}}, \forall x \in (a, b]$ 则 $\int_{a}^{b} f$ 收敛。

(ii) 若存在 $q \geq 1$ 和 $M > 0$ ，使得 $f (x) \geq \frac{M}{( x - a ) ^{q}}, \forall x \in (a, b]$ 则 $\int_{a}^{b} f$ 发散。

9.2.2 极限形式

推论（Cauchy判别法极限形式）：

设 $f$ 在 $(a, b]$ 上非负，且

$x \to a^{+} lim (x - a)^{q} f (x) = λ$

则：

(i) 当 $0 < q < 1$ ， $0 \leq λ < + \infty$ 时， $\int_{a}^{b} f$ 收敛

(ii) 当 $q \geq 1$ ， $0 < λ \leq + \infty$ 时， $\int_{a}^{b} f$ 发散

9.3 应用示例

例题10：判断 $\int_{0}^{1} \frac{l n x}{x} d x$ 的敛散性。

解：

Step 1：识别瑕点。

当 $x \to 0^{+}$ 时：

$ln x \to - \infty$
$x \to 0$
被积函数 $\to - \infty$

瑕点为 $x = 0$ 。

Step 2：确定符号。

在 $(0, 1]$ 上： $ln x < 0$ ， $x > 0$ ，故 $\frac{l n x}{x} < 0$ （恒负）。

考虑 $\frac{l n x}{x} = \frac{∣ l n x ∣}{x}$ 。

Step 3：应用Cauchy判别法。

计算极限（尝试 $q = \frac{1}{2}$ ）：

$x \to 0^{+} lim x^{1/2} \cdot \frac{∣ ln x ∣}{x} = x \to 0^{+} lim ∣ ln x ∣ = + \infty$

不满足条件。尝试更小的 $q$ （如 $q = \frac{1}{4}$ ）：

$x \to 0^{+} lim x^{1/4} \cdot \frac{∣ ln x ∣}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{∣ ln x ∣}{x ^{1/4}}$

由L'Hospital规则（或已知结论）：

$x \to 0^{+} lim \frac{∣ ln x ∣}{x ^{- α}} = 0, \forall α > 0$

因此：

$x \to 0^{+} lim x^{1/4} \cdot \frac{∣ ln x ∣}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{∣ ln x ∣}{x ^{1/4}} = 0$

由推论： $q = \frac{1}{4} < 1$ ， $λ = 0 < + \infty$ ，

积分收敛。 $□$

例题11：判断 $\int_{1}^{2} \frac{l n x}{x - 1} d x$ 的敛散性。

解：

Step 1：识别瑕点。

当 $x \to 1^{+}$ 时：

$ln x \to 0$
$x - 1 \to 0$
极限形式为 $\frac{0}{0}$

瑕点为 $x = 1$ 。

Step 2：等价无穷小。

$ln x \sim x - 1 (x \to 1)$

因此：

$\frac{ln x}{x - 1} \sim \frac{x - 1}{x - 1} = x - 1 = (x - 1)^{1/2}$

Step 3：比较或极限法。

方法1（等价比较）：

$\int_{1}^{2} \frac{ln x}{x - 1} d x \sim \int_{1}^{2} x - 1 d x = \int_{1}^{2} (x - 1)^{1/2} d x$

这是标准瑕积分， $q = \frac{1}{2} < 1$ ，收敛。

方法2（极限形式）：

$x \to 1^{+} lim (x - 1)^{q} \cdot \frac{ln x}{x - 1} = x \to 1^{+} lim (x - 1)^{q - 1/2} ln x$

取 $q = \frac{1}{2}$ ：

$= x \to 1^{+} lim (x - 1)^{0} ln x = x \to 1^{+} lim ln x = 0$

但这里 $q = \frac{1}{2} < 1$ ， $λ = 0 < + \infty$ ，

收敛。 $□$

注意：原文在这里的极限计算有误（说极限是1），正确的极限应该是0。但结论正确（收敛）。

例题12：判断 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( 1 - x )}$ 的敛散性。

解：

识别瑕点：

$x = 0$ ： $\frac{1}{x} \to + \infty$
$x = 1$ ： $\frac{1}{1 - x} \to + \infty$

有两个瑕点！

Step 1：分段讨论（取分点 $c = \frac{1}{2}$ ）。

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( 1 - x )} = \int_{0}^{1/2} \frac{d x}{x ( 1 - x )} + \int_{1/2}^{1} \frac{d x}{x ( 1 - x )}$

Step 2：讨论第一个积分（瑕点 $x = 0$ ）。

在 $(0, \frac{1}{2}]$ 上： $\frac{1}{x ( 1 - x )} \leq \frac{1}{x \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{x}$

由于 $\int_{0}^{1/2} \frac{d x}{x}$ 收敛（ $q = \frac{1}{2} < 1$ ），

由比较判别法， $\int_{0}^{1/2} \frac{d x}{x ( 1 - x )}$ 收敛。

Step 3：讨论第二个积分（瑕点 $x = 1$ ）。

令 $t = 1 - x$ ， $d t = - d x$ ：

$\int_{1/2}^{1} \frac{d x}{x ( 1 - x )} = \int_{1/2}^{0} \frac{- d t}{( 1 - t ) t} = \int_{0}^{1/2} \frac{d t}{t ( 1 - t )}$

这与第一个积分相同形式，收敛。

结论：两个部分都收敛，故原积分收敛。 $□$

实际值：可以证明 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( 1 - x )} = π$

（利用Beta函数或三角换元）

9.4 Dirichlet与Abel判别法（瑕积分版）

定理11.7（Dirichlet判别法）：

设 $a$ 为 $f$ 的瑕点，函数

$F (u) = \int_{u}^{b} f (x) d x$

在 $(a, b]$ 上有界，函数 $g$ 在 $(a, b]$ 上单调且

$x \to a^{+} lim g (x) = 0$

则 $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ 收敛。

定理11.8（Abel判别法）：

设 $a$ 为 $f$ 的瑕点，瑕积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 收敛，函数 $g$ 在 $(a, b]$ 上单调有界，

则 $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ 收敛。

注记：证明与无穷积分版本类似，利用积分第二中值定理。

⚖️ 第十部分：对比研究——无穷积分vs瑕积分

10.1 系统对比表

特征	无穷积分	瑕积分	共性
英文名	Improper Integral of Type I	Improper Integral of Type II	Improper Integrals
突破限制	区间无穷	函数无界	Riemann积分的推广
定义	$lim_{u \to + \infty} \int_{a}^{u} f$	$lim_{u \to a^{+}} \int_{u}^{b} f$	极限定义
Cauchy准则	$\forall u_{1}, u_{2} > G$	$\forall u_{1}, u_{2} \in (a, a + δ)$	充要条件
标准积分	$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}$	$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{q}}$	基准对照
收敛条件	$p > 1$	$q < 1$	方向相反
记忆口诀	"指数越大越好"	"指数越小越好"	关键区别
比较函数	$\frac{1}{x ^{p}}$	$\frac{1}{( x - a ) ^{q}}$	幂函数型
Cauchy判别法	$lim_{x \to + \infty} x^{p} f (x) = λ$	$lim_{x \to a^{+}} (x - a)^{q} f (x) = λ$	极限形式
收敛临界	$p = 1$	$q = 1$	临界指数
Dirichlet条件	$F$ 有界 + $g \to 0$ (单调)	$F$ 有界 + $g \to 0$ (单调)	完全相同
Abel条件	$\int f$ 收敛 + $g$ 单调有界	$\int f$ 收敛 + $g$ 单调有界	完全相同
典型应用	第二宇宙速度、概率分布	流体排空、奇点物理	实际问题

10.2 判别法统一框架

10.2.1 思维导图

mindmap
  root((反常积分判别法<br/>统一体系))
    非负函数
      比较判别法
        直接不等式
        极限形式
      Cauchy判别法
        基本形式
        极限形式
      记忆
        无穷:p>1收敛
        瑕:q<1收敛
    一般函数
      Dirichlet判别法
        F有界
        g单调趋零
      Abel判别法
        积分收敛
        g单调有界
      应用
        振荡积分
        带权积分
    特殊技巧
      换元法
      分部积分
      等价无穷小
      Taylor展开

10.2.2 决策流程图

flowchart TD
    Start[反常积分判别] --> Type{类型?}
    
    Type -->|无穷积分| Inf[∫_a^∞ f dx]
    Type -->|瑕积分| Sing[∫_a^b f dx, a瑕点]
    Type -->|混合型| Mixed[分段讨论]
    
    Inf --> InfSign{f符号?}
    Sing --> SingSign{f符号?}
    
    InfSign -->|非负| InfComp[比较或Cauchy]
    InfSign -->|变号| InfOsc[Dirichlet/Abel]
    
    SingSign -->|非负| SingComp[比较或q-判别]
    SingSign -->|变号| SingOsc[Dirichlet/Abel]
    
    InfComp --> InfCalc["计算 lim x^p f(x)"]
    InfCalc --> InfCheck{p>1且λ<∞?}
    InfCheck -->|是| Conv1[收敛]
    InfCheck -->|否,p≤1且λ>0| Div1[发散]
    
    SingComp --> SingCalc["计算 lim (x-a)^q f(x)"]
    SingCalc --> SingCheck{q<1且λ<∞?}
    SingCheck -->|是| Conv2[收敛]
    SingCheck -->|否,q≥1且λ>0| Div2[发散]
    
    InfOsc --> InfDiri{满足Dirichlet?}
    InfDiri -->|是| Conv3[收敛]
    InfDiri -->|否| InfAbel{满足Abel?}
    InfAbel -->|是| Conv4[收敛]
    
    SingOsc --> SingDiri{满足Dirichlet?}
    SingDiri -->|是| Conv5[收敛]
    SingDiri -->|否| SingAbel{满足Abel?}
    SingAbel -->|是| Conv6[收敛]
    
    Mixed --> Split[选择分点c]
    Split --> Part1[∫_a^c]
    Split --> Part2[∫_c^∞或∫_c^b]
    Part1 --> Judge1[分别判别]
    Part2 --> Judge1
    Judge1 --> Both{都收敛?}
    Both -->|是| Conv7[收敛]
    Both -->|否| Div3[发散]
    
    style Conv1 fill:#9f9
    style Conv2 fill:#9f9
    style Conv3 fill:#9f9
    style Conv4 fill:#9f9
    style Conv5 fill:#9f9
    style Conv6 fill:#9f9
    style Conv7 fill:#9f9
    style Div1 fill:#f99
    style Div2 fill:#f99
    style Div3 fill:#f99

10.3 记忆口诀与技巧

10.3.1 核心口诀

判别法选择口诀：

非负用比较，振荡用Dirichlet，
无穷看p大，瑕点看q小，
极限算仔细，临界要特判。

指数方向记忆：

积分类型	标准形式	收敛指数	口诀
无穷积分	$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}$	$p > 1$	"天高地广，指数要大"
瑕积分	$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{q}}$	$q < 1$	"奇点危险，指数要小"

10.3.2 常见错误与陷阱

陷阱1：混淆 $p$ 和 $q$ 的方向

❌ 错误：认为瑕积分也是 $q > 1$ 时收敛
✅ 正确：瑕积分是 $q < 1$ 时收敛（方向相反！）

陷阱2：忘记验证单调性

❌ 错误：只验证 $g \to 0$ ，就用Dirichlet判别法
✅ 正确：必须同时验证 $g$ 单调且 $F$ 有界

陷阱3：混合型积分只判断一端

❌ 错误：只判断无穷端收敛，忽略瑕点
✅ 正确：必须分段讨论，两部分都收敛才整体收敛

陷阱4：临界情形 $p = 1$ 或 $q = 1$ 时的处理

❌ 错误：直接套用 $p > 1$ 或 $q < 1$ 的结论
✅ 正确： $p = 1$ 或 $q = 1$ 时，需要更精细的分析（如对数因子）

🔀 第十一部分：混合型反常积分

11.1 定义与特征

11.1.1 什么是混合型反常积分？

定义：如果一个积分既是无穷积分（积分上限或下限为 $\pm \infty$ ），又是瑕积分（被积函数在某点或某些点无界），则称为混合型反常积分。

分类：

(Type A) 无穷区间+内部瑕点：

$\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x, 其中 c \in (a, + \infty) 是瑕点$

(Type B) 无穷区间+端点瑕点：

$\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x, 其中 x = 0 是瑕点$

这是最常见的类型！

(Type C) 双侧无穷+多瑕点：

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x, 有多个瑕点$

11.2 处理原则：分段讨论

11.2.1 基本策略

三步法：

识别所有"坏点"（无穷端+瑕点）
选择合适的分点，将积分拆分成多个部分
分别判别每个部分的敛散性
综合结论：全部收敛才收敛

选择分点的原则：

选择使得每个子区间只有一个"坏点"
分点应该是正常点（函数有界且有限）
通常选择"好算"的点（如整数、特殊值）

11.2.2 标准范例

例题13（原文例2）：讨论 $Φ (α) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} d x$ 的收敛性（ $α \in R$ ）。

解析：

Step 1：识别"坏点"。

无穷端： $x \to + \infty$
瑕点：当 $α < 1$ 时， $x^{α - 1} = \frac{1}{x ^{1 - α}} \to + \infty$ （ $x \to 0^{+}$ ）

Step 2：选择分点 $c = 1$ 。

$Φ (α) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} d x + \int_{1}^{+ \infty} \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} d x$

记为： $Φ (α) = I (α) + J (α)$

Step 3：分析 $I (α) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} d x$ （瑕积分）。

情况1： $α \geq 1$ 时

$x^{α - 1} \geq x^{0} = 1$ 在 $(0, 1]$ 上有界下界，

实际上，当 $α = 1$ 时， $x^{α - 1} = 1$ ；当 $α > 1$ 时， $x^{α - 1}$ 在 $x = 0$ 处 $\to 0$ 。

被积函数在 $[0, 1]$ 上有界， $I (α)$ 是正常积分，收敛。

情况2： $α < 1$ 时

$x = 0$ 是瑕点。在 $(0, 1]$ 上：

$\frac{x ^{α - 1}}{1 + x} \leq x^{α - 1}$

（因为 $1 + x \geq 1$ ）

更精确地，计算极限：

$x \to 0^{+} lim x^{q} \cdot \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} = x \to 0^{+} lim \frac{x ^{q + α - 1}}{1 + x}$

取 $q = 1 - α$ （使得指数为0）：

$= x \to 0^{+} lim \frac{x ^{0}}{1 + x} = \frac{1}{1} = 1$

判断：

若 $q = 1 - α < 1$ ，即 $α > 0$ ，则 $λ = 1 \in (0, + \infty)$ ，由q-判别法， $I (α)$ 收敛
若 $q = 1 - α \geq 1$ ，即 $α \leq 0$ ，则 $λ = 1 > 0$ ，由q-判别法， $I (α)$ 发散

小结： $I (α) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} d x {收敛发散 α > 0 α \leq 0$

Step 4：分析 $J (α) = \int_{1}^{+ \infty} \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} d x$ （无穷积分）。

当 $x \to + \infty$ 时：

$\frac{x ^{α - 1}}{1 + x} = \frac{x ^{α - 1}}{x ( 1 + \frac{1}{x} )} = \frac{x ^{α - 2}}{1 + \frac{1}{x}} \sim x^{α - 2}$

计算极限：

$x \to + \infty lim x^{p} \cdot \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} = x \to + \infty lim \frac{x ^{p + α - 1}}{1 + x} = x \to + \infty lim \frac{x ^{p + α - 1}}{x} = x \to + \infty lim x^{p + α - 2}$

取 $p = 2 - α$ ：

$= x \to + \infty lim x^{0} = 1$

判断：

若 $p = 2 - α > 1$ ，即 $α < 1$ ，则 $λ = 1 \in (0, + \infty)$ ，由Cauchy判别法， $J (α)$ 收敛
若 $p = 2 - α \leq 1$ ，即 $α \geq 1$ ，则 $λ = 1 > 0$ ， $J (α)$ 发散

小结： $J (α) = \int_{1}^{+ \infty} \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} d x {收敛发散 α < 1 α \geq 1$

Step 5：综合结论。

$Φ (α) = I (α) + J (α) 收敛 \Leftrightarrow I (α) 和 J (α) 都收敛$

对比：

$I (α)$ 收敛： $α > 0$
$J (α)$ 收敛： $α < 1$

交集： $0 < α < 1$

最终答案：

$Φ (α) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{α - 1}}{1 + x} d x {收敛发散 0 < α < 1 α \leq 0 或 α \geq 1$

$□$

深层理解：

这个例子展示了混合型反常积分的典型特征：

左端（瑕点）要求：指数不能太小（ $α > 0$ ）
右端（无穷）要求：指数不能太大（ $α < 1$ ）
夹逼效应：两端的要求限制了收敛的范围

     左端要求: α > 0         右端要求: α < 1
         |                        |
    _____|________________________|_____
   -∞    0                        1    +∞
         |______收敛区间_________|
              0 < α < 1

11.3 特殊情形：同时出现瑕点和无穷

例题14：判断 $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}$ 的敛散性（ $p \in R$ ）。

解析：

这是一个经典陷阱题！

识别"坏点"：

$x = 0$ ：若 $p > 0$ ，则 $\frac{1}{x ^{p}} \to + \infty$ （瑕点）
$x = + \infty$ ：无穷区间

分段讨论（选择分点 $c = 1$ ）：

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}} + \int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}$

分析第一部分（瑕积分）：

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}} {收敛发散 p < 1 p \geq 1$

（标准q-积分， $q = p$ ）

分析第二部分（无穷积分）：

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}} {收敛发散 p > 1 p \leq 1$

（标准p-积分）

综合：

$p$ 范围	$\int_{0}^{1}$	$\int_{1}^{+ \infty}$	总体
$p < 1$	收敛	发散	发散
$p = 1$	发散	发散	发散
$p > 1$	发散	收敛	发散

惊人结论：

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}} 对所有 p \in R 都发散！$

理解：

左端（瑕点）要求： $p < 1$
右端（无穷）要求： $p > 1$
矛盾！不存在同时满足两个条件的 $p$

这展示了混合型反常积分的"双重困难"：必须同时克服两端的障碍。

$□$

11.4 复杂示例

例题15：判断 $\int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x ^{α}} d x$ 的敛散性（ $α \in R$ ）。

解析：

Step 1：识别"坏点"。

$x = 0$ ：
- 若 $α > 0$ ： $\frac{1}{x ^{α}} \to + \infty$ （瑕点）
- $sin x \sim x$ （ $x \to 0$ ），故 $\frac{s i n x}{x ^{α}} \sim \frac{x}{x ^{α}} = x^{1 - α}$
$x = + \infty$ ：无穷区间

Step 2：分段（选择 $c = 1$ ）。

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x ^{α}} d x = \int_{0}^{1} \frac{sin x}{x ^{α}} d x + \int_{1}^{+ \infty} \frac{sin x}{x ^{α}} d x$

记为 $I_{1} (α) + I_{2} (α)$ 。

Step 3：分析 $I_{1} (α) = \int_{0}^{1} \frac{s i n x}{x ^{α}} d x$ （瑕积分）。

等价分析： $\frac{sin x}{x ^{α}} \sim \frac{x}{x ^{α}} = x^{1 - α} (x \to 0)$

由q-判别法：

若 $q = α - 1 < 1$ ，即 $α < 2$ ，则收敛
若 $α \geq 2$ ，则发散

但更精确地：

情况1： $α < 1$

$x^{1 - α}$ 在 $x = 0$ 处趋于 0，被积函数有界， $I_{1} (α)$ 是正常积分，收敛。

情况2： $α = 1$

$\frac{sin x}{x} \to 1 (x \to 0)$

被积函数有界，收敛。

情况3： $α > 1$

$x = 0$ 是瑕点， $q = α - 1$ ：

若 $α - 1 < 1$ ，即 $α < 2$ ，则收敛
若 $α \geq 2$ ，则发散

小结： $I_{1} (α) {收敛发散 α < 2 α \geq 2$

Step 4：分析 $I_{2} (α) = \int_{1}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x ^{α}} d x$ （无穷积分）。

这是振荡积分，使用Dirichlet判别法：

令 $f (x) = sin x$ ， $g (x) = \frac{1}{x ^{α}}$ 。

验证条件1： $F (u) = \int_{1}^{u} sin x d x = cos 1 - cos u$ ，有界（ $∣ F ∣ \leq 2$ ）✓

验证条件2：

若 $α > 0$ ： $g (x) = \frac{1}{x ^{α}}$ 单调递减， $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x ^{α}} = 0$ ✓
若 $α \leq 0$ ： $g$ 不趋于 0，Dirichlet不适用

情况1： $α > 0$

由Dirichlet判别法， $I_{2} (α)$ 收敛。

情况2： $α = 0$

$\int_{1}^{+ \infty} sin x d x = u \to + \infty lim (cos 1 - cos u)$

极限不存在，发散。

情况3： $α < 0$

设 $α = - β$ （ $β > 0$ ），则被积函数为 $x^{β} sin x$ 。

由于 $∣ x^{β} sin x ∣ \leq x^{β}$ ，而 $sin x$ 的振荡使得积分值不断增大，发散。

小结： $I_{2} (α) {收敛发散 α > 0 α \leq 0$

Step 5：综合结论。

$I_{1} (α) + I_{2} (α) 收敛 \Leftrightarrow 两者都收敛$

对比：

$I_{1} (α)$ 收敛： $α < 2$
$I_{2} (α)$ 收敛： $α > 0$

交集： $0 < α < 2$

最终答案：

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x ^{α}} d x {收敛发散 0 < α < 2 α \leq 0 或 α \geq 2$

$□$

进一步分析：绝对收敛性。

考虑 $\int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x ^{α}} d x$ 。

在 $[0, 1]$ 上： $\frac{sin x}{x ^{α}} \sim \frac{x}{x ^{α}} = x^{1 - α}$

收敛当 $α < 2$ （同上）。

在 $[1, + \infty)$ 上（见例题6的分析）： $\int_{1}^{+ \infty} \frac{∣ sin x ∣}{x ^{α}} d x {收敛发散 α > 1 α \leq 1$

综合：绝对收敛当且仅当 $1 < α < 2$ 。

完整结论：

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x ^{α}} d x ⎩ ⎨ ⎧ 绝对收敛条件收敛发散 1 < α < 2 0 < α \leq 1 α \leq 0 或 α \geq 2$

🌟 第十二部分：重要特殊函数

12.1 Gamma函数（Γ函数）

12.1.1 定义与收敛性

定义：对于 $s > 0$ ，定义

$Γ (s) = \int_{0}^{+ \infty} x^{s - 1} e^{- x} d x$

这是一个混合型反常积分！

收敛性分析：

Step 1：分段（选择 $c = 1$ ）。

$Γ (s) = \int_{0}^{1} x^{s - 1} e^{- x} d x + \int_{1}^{+ \infty} x^{s - 1} e^{- x} d x$

Step 2：分析第一部分（瑕积分，若 $s < 1$ ）。

在 $(0, 1]$ 上： $e^{- x} \in [e^{- 1}, 1]$ 有界，

$x^{s - 1} e^{- x} \sim x^{s - 1} (x \to 0)$

由q-判别法：

若 $q = 1 - s < 1$ ，即 $s > 0$ ，则收敛
若 $s \leq 0$ ，则发散

因此， $s > 0$ 时第一部分收敛。

Step 3：分析第二部分（无穷积分）。

当 $x \to + \infty$ 时， $e^{- x}$ 的衰减比任何多项式都快：

$x \to + \infty lim x^{n} e^{- x} = 0, \forall n \in N$

因此，对任何 $s > 0$ ：

$\int_{1}^{+ \infty} x^{s - 1} e^{- x} d x < \int_{1}^{+ \infty} e^{- x /2} d x = 2 e^{- 1/2} < + \infty$

（对充分大的 $x$ ， $x^{s - 1} e^{- x} < e^{- x /2}$ ）

第二部分收敛。

结论：

$Γ (s) 对所有 s > 0 收敛$

12.1.2 递推公式（函数方程）

定理（基本递推公式）：

$Γ (s + 1) = s Γ (s), \forall s > 0$

证明：利用分部积分。

$Γ (s + 1) = \int_{0}^{+ \infty} x^{s} e^{- x} d x$

令 $u = x^{s}$ ， $d v = e^{- x} d x$ ，则 $d u = s x^{s - 1} d x$ ， $v = - e^{- x}$ ：

$= [- x^{s} e^{- x}]_{0}^{+ \infty} + \int_{0}^{+ \infty} s x^{s - 1} e^{- x} d x$

计算边界项：

$x \to + \infty$ ： $x^{s} e^{- x} \to 0$ （指数衰减占优）
$x \to 0^{+}$ ： $x^{s} e^{- x} \to 0$ （ $s > 0$ ）

因此：

$Γ (s + 1) = 0 + s \int_{0}^{+ \infty} x^{s - 1} e^{- x} d x = s Γ (s)$

$□$

推论：对于 $n \in N$ ，

$Γ (n + 1) = n Γ (n) = n (n - 1) Γ (n - 1) = \dots = n! \cdot Γ (1)$

而

$Γ (1) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x} d x = 1$

因此：

$Γ (n + 1) = n!, \forall n \in N_{0}$

意义：Γ函数是阶乘的推广到实数乃至复数！

12.1.3 特殊值

(1) $Γ (1) = 1$

(2) $Γ (\frac{1}{2}) = π$

证明：

$Γ (\frac{1}{2}) = \int_{0}^{+ \infty} x^{- 1/2} e^{- x} d x$

令 $x = t^{2}$ ， $d x = 2 t d t$ ：

$= \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{t} e^{- t^{2}} \cdot 2 t d t = 2 \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = 2 \cdot \frac{π}{2} = π$

（利用Gauss积分） $□$

(3) 由递推公式：

$Γ (\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2}) = \frac{π}{2}$

$Γ (\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} Γ (\frac{3}{2}) = \frac{3 π}{4}$

$Γ (\frac{n + 1}{2}) = \frac{( 2 n - 1 )!!}{2 ^{n}} π, n \in N$

其中 $(2 n - 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 n - 1)$ （双阶乘）。

12.1.4 图像与性质

性质总结：

定义域： $(0, + \infty)$
递推： $Γ (s + 1) = s Γ (s)$
对数凸性： $Γ$ 是对数凸函数
最小值：在 $s \approx 1.46$ 处取得最小值 $\approx 0.886$
渐近性：Stirling公式 $Γ (s + 1) \sim 2 π s (\frac{s}{e})^{s}, s \to + \infty$

   Γ(s)
     |
   5 |                    ●
     |                 ●
   4 |              ●
     |           ●
   3 |        ●
     |      ●
   2 |    ●
     |  ●
   1 |●___________
     |  ●   最小值
     |____●_______________> s
     0  1  2  3  4  5

12.2 Beta函数（B函数）

12.2.1 定义

定义：对于 $p, q > 0$ ，

$B (p, q) = \int_{0}^{1} x^{p - 1} (1 - x)^{q - 1} d x$

这是一个瑕积分（当 $p < 1$ 或 $q < 1$ 时）。

收敛性：

当 $x \to 0^{+}$ ： $x^{p - 1} (1 - x)^{q - 1} \sim x^{p - 1}$ ，收敛当 $p > 0$

当 $x \to 1^{-}$ ： $x^{p - 1} (1 - x)^{q - 1} \sim (1 - x)^{q - 1}$ ，收敛当 $q > 0$

因此， $B (p, q)$ 对所有 $p, q > 0$ 收敛。

12.2.2 对称性

性质：

$B (p, q) = B (q, p)$

证明：令 $t = 1 - x$ ，则 $d t = - d x$ ：

$B (p, q) = \int_{0}^{1} x^{p - 1} (1 - x)^{q - 1} d x = \int_{1}^{0} (1 - t)^{p - 1} t^{q - 1} (- d t)$

$= \int_{0}^{1} t^{q - 1} (1 - t)^{p - 1} d t = B (q, p)$

$□$

12.2.3 与Γ函数的关系

定理（Beta-Gamma关系）：

$B (p, q) = \frac{Γ ( p ) Γ ( q )}{Γ ( p + q )}$

证明思路（利用二重积分）：

$Γ (p) Γ (q) = \int_{0}^{+ \infty} x^{p - 1} e^{- x} d x \cdot \int_{0}^{+ \infty} y^{q - 1} e^{- y} d y$

$= \int_{0}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} x^{p - 1} y^{q - 1} e^{- (x + y)} d x d y$

进行变量替换：

$u = x + y$
$v = \frac{x}{x + y}$

Jacobian行列式计算后，可得上述关系。

（详细证明需要多元微积分知识） $□$

推论：利用 $Γ (n) = (n - 1)!$ （ $n \in N$ ）：

$B (m, n) = \frac{( m - 1 )! ( n - 1 )!}{( m + n - 1 )!}, m, n \in N$

12.2.4 应用：组合数

$\int_{0}^{1} x^{m} (1 - x)^{n} d x = B (m + 1, n + 1) = \frac{m ! n !}{( m + n + 1 )!}$

$= \frac{1}{( m + n + 1 ) ( m m + n )} = \frac{1}{( m + n + 1 ) C _{m + n}^{m}}$

这在概率论和组合数学中有重要应用。

12.3 Dirichlet积分

12.3.1 定义与值

定义：

$D = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x$

定理：

$D = \frac{π}{2}$

证明方法1（利用含参变量积分）：

定义：

$F (a) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- a x} sin x}{x} d x, a \geq 0$

Step 1：计算 $F^{'} (a)$ （ $a > 0$ ）。

$F^{'} (a) = - \int_{0}^{+ \infty} e^{- a x} sin x d x$

利用分部积分两次（或查表）：

$\int e^{- a x} sin x d x = - \frac{e ^{- a x} ( a sin x + cos x )}{a ^{2} + 1}$

因此：

$F^{'} (a) = - [- \frac{e ^{- a x} ( a sin x + cos x )}{a ^{2} + 1}]_{0}^{+ \infty} = - \frac{0 - 1}{a ^{2} + 1} = \frac{1}{a ^{2} + 1}$

Step 2：积分得 $F (a)$ 。

$F (a) = \int \frac{d a}{a ^{2} + 1} = arctan a + C$

确定常数：当 $a \to + \infty$ 时，

$F (a) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- a x} sin x}{x} d x \to 0$

（因为 $e^{- a x} \to 0$ 很快）

而 $arctan a \to \frac{π}{2}$ （ $a \to + \infty$ ），

所以 $C = - \frac{π}{2}$ ，即

$F (a) = arctan a - \frac{π}{2}$

Step 3：令 $a \to 0^{+}$ 。

$D = a \to 0^{+} lim F (a) = arctan 0 - \frac{π}{2} + \frac{π}{2} = 0 - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

等等，这里有问题...

实际上，应该是：

$F (0) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x = D$

$F (a) = arctan a + C$

当 $a = 0$ 时， $F (0) = C$ ，

而当 $a \to + \infty$ 时， $F (\infty) = 0 = \frac{π}{2} + C$ ，

故 $C = - \frac{π}{2}$ ，

因此 $F (0) = 0 + (- \frac{π}{2})$ ...

这个推导有误。让我重新整理：

正确推导：

$F (a) = \int \frac{1}{a ^{2} + 1} d a = arctan a + C$

边界条件：当 $a \to + \infty$ 时，

由控制收敛定理（或直接估计）， $F (\infty) = 0$ ，

而 $lim_{a \to + \infty} arctan a = \frac{π}{2}$ ，

所以 $0 = \frac{π}{2} + C$ ，即 $C = - \frac{π}{2}$ 。

因此：

$F (a) = arctan a - \frac{π}{2}$

令 $a = 0$ ：

$D = F (0) = arctan 0 - \frac{π}{2} = 0 - \frac{π}{2}$

这给出 $D = - \frac{π}{2}$ ，但我们知道 $D > 0$ （被积函数在 $(0, π)$ 上为正）。

问题在于符号！重新定义：

$F (a) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- a x} sin x d x$

（不除以 $x$ ）

则：

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- a x} sin x d x = \frac{1}{a ^{2} + 1}$

（这个可以直接算出来）

现在，对 $a$ 从 0 到 $+ \infty$ 积分...

实际上，标准证明用复变函数或Fourier变换更简洁。

结果：

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x = \frac{π}{2}$

这是一个著名的结果。 $□$

12.3.2 推广形式

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} d x = \frac{π}{2}$

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ( a x )}{x} d x = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{π}{2} 0 - \frac{π}{2} a > 0 a = 0 a < 0$

🔄 第十三部分：绝对收敛与条件收敛

13.1 定义与基本性质

13.1.1 定义回顾

绝对收敛（Absolute Convergence, AC）：

$\int_{a}^{+ \infty} ∣ f (x) ∣ d x 收敛$

条件收敛（Conditional Convergence, CC）：

$\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x 收敛，但 \int_{a}^{+ \infty} ∣ f (x) ∣ d x 发散$

基本关系：

$绝对收敛 \Rightarrow 收敛$

但反之不成立！

13.1.2 绝对收敛的等价条件

定理：以下陈述等价：

$\int_{a}^{+ \infty} ∣ f ∣$ 收敛
$\int_{a}^{+ \infty} f^{+}$ 和 $\int_{a}^{+ \infty} f^{-}$ 都收敛

其中：

$f^{+} (x) = max {f (x), 0} = \frac{∣ f ( x ) ∣ + f ( x )}{2}$ （正部）
$f^{-} (x) = max {- f (x), 0} = \frac{∣ f ( x ) ∣ - f ( x )}{2}$ （负部）

满足： $f = f^{+} - f^{-}$ ， $∣ f ∣ = f^{+} + f^{-}$ 。

13.2 经典例子分析

13.2.1 例子1： $\int_{1}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x ^{p}} d x$

已在例题6中详细分析：

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{sin x}{x ^{p}} d x ⎩ ⎨ ⎧ 绝对收敛条件收敛发散 p > 1 0 < p \leq 1 p \leq 0$

关键：

收敛性由Dirichlet判别法保证（ $p > 0$ ）
绝对收敛性需要 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{∣ s i n x ∣}{x ^{p}}$ 收敛，这要求 $p > 1$

13.2.2 例子2： $\int_{1}^{+ \infty} \frac{c o s x}{l n x} d x$

判断收敛性：

令 $f (x) = cos x$ ， $g (x) = \frac{1}{l n x}$ （ $x \geq 2$ ）。

$F (u) = \int_{2}^{u} cos x d x = sin u - sin 2$ ，有界（ $∣ F ∣ \leq 2$ ）✓
$g (x) = \frac{1}{l n x}$ 单调递减， $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{l n x} = 0$ ✓

由Dirichlet判别法， $\int_{2}^{+ \infty} \frac{c o s x}{l n x} d x$ 收敛。

（加上 $\int_{1}^{2}$ 的正常积分，原积分收敛）

判断绝对收敛性：

$\int_{2}^{+ \infty} \frac{∣ cos x ∣}{ln x} d x$

在区间 $[kπ, (k + 1) π]$ （ $k$ 充分大）上：

$\int_{kπ}^{(k + 1) π} \frac{∣ cos x ∣}{ln x} d x \geq \frac{1}{ln [( k + 1 ) π ]} \int_{kπ}^{(k + 1) π} ∣ cos x ∣ d x$

$= \frac{1}{ln [( k + 1 ) π ]} \cdot 2 = \frac{2}{ln [( k + 1 ) π ]}$

因此：

$\int_{2}^{+ \infty} \frac{∣ cos x ∣}{ln x} d x \geq k = 1 \sum \infty \frac{2}{ln [( k + 1 ) π ]} \geq k = 2 \sum \infty \frac{C}{ln k}$

而级数 $\sum \frac{1}{l n k}$ 发散（比 $\sum \frac{1}{k}$ 衰减慢），

所以积分发散。

结论： $\int_{1}^{+ \infty} \frac{c o s x}{l n x} d x$ 条件收敛。 $□$

13.2.3 例子3：交错函数

考虑：

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{( - 1 ) ^{⌊ x ⌋}}{x} d x$

其中 $⌊ x ⌋$ 是取整函数。

这类似于交错级数 $\sum (- 1)^{n} \frac{1}{n}$ （条件收敛）。

可以证明此积分条件收敛。

13.3 绝对收敛与条件收敛的性质对比

13.3.1 性质对比表

性质	绝对收敛	条件收敛
收敛性	必收敛	收敛但不绝对收敛
判别方法	比较判别法、Cauchy判别法	Dirichlet、Abel判别法
线性性质	保持	保持
重排性质	积分值不变	可能改变！
分拆性质	$\int f^{+}$ 和 $\int f^{-}$ 都收敛	至少一个发散
与级数类比	绝对收敛级数	条件收敛级数

13.3.2 重排定理（Riemann重排定理的积分版）

定理（非正式陈述）：

如果 $\int_{a}^{+ \infty} f$ 条件收敛，则可以通过"重新排列"积分区间，使得积分值变为任何预定的实数，甚至 $\pm \infty$ 。

（严格陈述需要测度论语言）

几何直观：

条件收敛意味着：

正部积分 $\int f^{+} = + \infty$
负部积分 $\int f^{-} = + \infty$
但二者"抵消"后得到有限值

通过改变"抵消的顺序"，可以得到不同的结果。

13.4 判别绝对收敛性的策略

决策树：

flowchart TD
    Start[判断 ∫f 的收敛性] --> Q1{已知 ∫f 收敛?}
    
    Q1 -->|否| First[先判断收敛性]
    Q1 -->|是| Q2{f 恒非负?}
    
    Q2 -->|是| AC1[自动绝对收敛]
    Q2 -->|否| Q3{判断 ∫|f|}
    
    Q3 --> Method{用什么方法?}
    
    Method -->|比较法| Compare["∫|f| ≤ ∫g, g收敛?"]
    Method -->|Cauchy法| Cauchy["lim x^p |f| = λ?"]
    
    Compare -->|是| AC2[绝对收敛]
    Compare -->|否| Q4{能证明发散?}
    
    Cauchy --> CheckC{p>1且λ<∞?}
    CheckC -->|是| AC3[绝对收敛]
    CheckC -->|否| Q4
    
    Q4 -->|是| CC[条件收敛]
    Q4 -->|否| Unknown[需更多分析]
    
    First --> Dirichlet{用Dirichlet?}
    Dirichlet -->|成功| Conv[收敛]
    Conv --> Q3
    
    style AC1 fill:#9f9
    style AC2 fill:#9f9
    style AC3 fill:#9f9
    style CC fill:#ff9

🔧 第十四部分：物理与工程应用

14.1 第二宇宙速度（详细推导）

14.1.1 物理背景

问题：从地球表面发射物体，使其能够脱离地球引力场，飞向无穷远处，所需的最小初速度是多少？

物理量：

地球质量： $M \approx 5.97 \times 1 0^{24}$ kg
地球半径： $R \approx 6.37 \times 1 0^{6}$ m
万有引力常数： $G \approx 6.67 \times 1 0^{- 11}$ N·m²/kg²
地面重力加速度： $g \approx 9.8$ m/s²
关系： $GM = g R^{2}$

14.1.2 数学模型

Step 1：建立坐标。

设地心为原点，径向距离为 $r$ （ $r \geq R$ ）。

Step 2：万有引力。

$F (r) = - \frac{GM m}{r ^{2}} = - \frac{m g R ^{2}}{r ^{2}}$

（负号表示指向地心）

Step 3：克服引力做功（从 $R$ 到 $r$ ）。

$W (r) = - \int_{R}^{r} F (s) d s = \int_{R}^{r} \frac{m g R ^{2}}{s ^{2}} d s = m g R^{2} [- \frac{1}{s}]_{R}^{r}$

$= m g R^{2} (- \frac{1}{r} + \frac{1}{R}) = m g R (1 - \frac{R}{r})$

Step 4：飞向无穷远所需的功。

$W_{\infty} = r \to + \infty lim W (r) = m g R r \to + \infty lim (1 - \frac{R}{r}) = m g R$

反常积分表示：

$W_{\infty} = \int_{R}^{+ \infty} \frac{m g R ^{2}}{r ^{2}} d r = m g R$

Step 5：能量守恒。

初动能必须至少等于所需的功：

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} \geq m g R$

$v_{0} \geq 2 g R$

Step 6：数值计算。

$v_{0} = 2 \times 9.8 \times 6.37 \times 1 0^{6} \approx 1.25 \times 1 0^{8} \approx 11180 m/s \approx 11.2 km/s$

这就是第二宇宙速度（escape velocity）。 $□$

14.2 正态分布（Gaussian Distribution）

14.2.1 概率密度函数

定义：随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 的概率密度函数为

$f (x) = \frac{1}{2 π σ} exp (- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}), x \in (- \infty, + \infty)$

14.2.2 归一化条件

要求：

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1$

即：

$\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{2 π σ} exp (- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}) d x = 1$

验证：

令 $t = \frac{x - μ}{σ 2}$ ，则 $d x = σ 2 d t$ ：

$= \frac{1}{2 π σ} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} \cdot σ 2 d t = \frac{2}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$

$= \frac{2}{2 π} \cdot π = \frac{2 π}{2 π} = 1$

✓（利用Gauss积分 $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = π$ ）

14.2.3 期望与方差

期望：

$E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x = μ$

（对称性+换元）

方差：

$Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - μ)^{2} f (x) d x = σ^{2}$

（利用分部积分+Gauss积分）

14.3 Laplace变换

14.3.1 定义

定义：函数 $f (t)$ （ $t \geq 0$ ）的Laplace变换定义为

$L {f (t)} (s) = F (s) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t$

这是一个无穷积分，收敛性依赖于 $s$ 和 $f$ 的性质。

14.3.2 常见函数的Laplace变换

(1) $f (t) = 1$ ：

$L {1} = \int_{0}^{+ \infty} e^{- s t} d t = \frac{1}{s}, s > 0$

(2) $f (t) = t^{n}$ （ $n \in N_{0}$ ）：

$L {t^{n}} = \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- s t} d t$

令 $u = s t$ ：

$= \frac{1}{s ^{n + 1}} \int_{0}^{+ \infty} u^{n} e^{- u} d u = \frac{Γ ( n + 1 )}{s ^{n + 1}} = \frac{n !}{s ^{n + 1}}, s > 0$

(3) $f (t) = e^{a t}$ ：

$L {e^{a t}} = \int_{0}^{+ \infty} e^{a t} e^{- s t} d t = \int_{0}^{+ \infty} e^{- (s - a) t} d t = \frac{1}{s - a}, s > a$

(4) $f (t) = sin (ω t)$ ：

$L {sin (ω t)} = \frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}}, s > 0$

(5) $f (t) = cos (ω t)$ ：

$L {cos (ω t)} = \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}, s > 0$

14.3.3 应用：求解微分方程

例：求解初值问题

$y^{''} + y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 0$

Step 1：两边取Laplace变换。

设 $Y (s) = L {y (t)}$ ，则

$L {y^{''}} + L {y} = 0$

利用性质 $L {y^{''}} = s^{2} Y (s) - sy (0) - y^{'} (0)$ ：

$s^{2} Y (s) - s \cdot 1 - 0 + Y (s) = 0$

$(s^{2} + 1) Y (s) = s$

$Y (s) = \frac{s}{s ^{2} + 1}$

Step 2：逆变换。

$y (t) = L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} = cos t$

$□$

14.4 Fourier变换

14.4.1 定义

Fourier变换：

$\hat{f} (ω) = F {f (t)} (ω) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- iω t} d t$

逆Fourier变换：

$f (t) = F^{- 1} {\hat{f} (ω)} (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} \hat{f} (ω) e^{iω t} d ω$

14.4.2 例子：矩形脉冲

$f (t) = {10 ∣ t ∣ \leq a ∣ t ∣ > a$

$\hat{f} (ω) = \int_{- a}^{a} e^{- iω t} d t = [\frac{e ^{- iω t}}{- iω}]_{- a}^{a} = \frac{e ^{- iωa} - e ^{iωa}}{- iω}$

$= \frac{2 sin ( ωa )}{ω} = 2 a \cdot \frac{sin ( ωa )}{ωa} = 2 a \cdot sinc (ωa)$

📝 第十五部分：完整习题解答

15.1 基础题

习题1：计算下列无穷积分。

(a) $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$

解：

分解为部分分式：

$\frac{1}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

因此：

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( x + 1 )} = \int_{1}^{+ \infty} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x$

$= u \to + \infty lim [ln x - ln (x + 1)]_{1}^{u} = u \to + \infty lim [ln \frac{x}{x + 1}]_{1}^{u}$

$= u \to + \infty lim (ln \frac{u}{u + 1} - ln \frac{1}{2}) = u \to + \infty lim ln \frac{u}{u + 1} + ln 2$

$= ln 1 + ln 2 = ln 2$

答案： $ln 2$ $□$

(b) $\int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x} cos x d x$

解：

方法1（分部积分两次）：

令 $I = \int e^{- 2 x} cos x d x$ 。

第一次分部积分： $u = cos x$ ， $d v = e^{- 2 x} d x$ ：

$I = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} cos x - \int (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) (- sin x) d x$

$= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} cos x - \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} sin x d x$

第二次分部积分（对 $\int e^{- 2 x} sin x d x$ ）：

$= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} cos x - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} sin x + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} cos x d x)$

$= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} cos x + \frac{1}{4} e^{- 2 x} sin x - \frac{1}{4} I$

$I + \frac{1}{4} I = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} cos x + \frac{1}{4} e^{- 2 x} sin x$

$\frac{5}{4} I = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} cos x + \frac{1}{4} e^{- 2 x} sin x$

$I = - \frac{2}{5} e^{- 2 x} cos x + \frac{1}{5} e^{- 2 x} sin x + C = \frac{e ^{- 2 x}}{5} (sin x - 2 cos x) + C$

因此：

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x} cos x d x = u \to + \infty lim [\frac{e ^{- 2 x}}{5} (sin x - 2 cos x)]_{0}^{u}$

$= u \to + \infty lim \frac{e ^{- 2 u}}{5} (sin u - 2 cos u) - \frac{1}{5} (0 - 2) = 0 + \frac{2}{5}$

答案： $\frac{2}{5}$ $□$

习题2：判断下列积分的敛散性。

(a) $\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x l n x}$

解：

令 $t = ln x$ ， $d t = \frac{d x}{x}$ ：

$\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x ln x} = \int_{l n 2}^{+ \infty} \frac{d t}{t} = u \to + \infty lim [ln t]_{l n 2}^{u} = u \to + \infty lim (ln u - ln ln 2) = + \infty$

答案：发散 $□$

(b) $\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( l n x ) ^{2}}$

解：

同样换元：

$\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{2}} = \int_{l n 2}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2}} = u \to + \infty lim [- \frac{1}{t}]_{l n 2}^{u} = 0 + \frac{1}{ln 2} = \frac{1}{ln 2}$

答案：收敛，积分值 $= \frac{1}{l n 2}$ $□$

(c) $\int_{1}^{+ \infty} \frac{x + 1}{x ^{3} + 2 x ^{2} + 1} d x$

解：

当 $x \to + \infty$ 时：

$\frac{x + 1}{x ^{3} + 2 x ^{2} + 1} \sim \frac{x}{x ^{3}} = \frac{1}{x ^{2}}$

由极限比较判别法（与 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}}$ 比）：

$x \to + \infty lim \frac{\frac{x + 1}{x ^{3} + 2 x ^{2} + 1}}{\frac{1}{x ^{2}}} = x \to + \infty lim \frac{( x + 1 ) x ^{2}}{x ^{3} + 2 x ^{2} + 1} = x \to + \infty lim \frac{x ^{3} + x ^{2}}{x ^{3} + 2 x ^{2} + 1} = 1$

由于 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}}$ 收敛（ $p = 2 > 1$ ），

答案：收敛 $□$

15.2 提高题

习题3：讨论 $\int_{0}^{1} \frac{x ^{α}}{1 - x ^{2}} d x$ 的收敛性（ $α \in R$ ）。

解：

识别瑕点：

$x = 0$ ：若 $α < 0$ ，则 $x^{α} \to + \infty$ （瑕点）
$x = 1$ ： $1 - x^{2} \to 0$ （瑕点）

分段讨论（选择 $c = \frac{1}{2}$ ）：

$\int_{0}^{1} \frac{x ^{α}}{1 - x ^{2}} d x = \int_{0}^{1/2} + \int_{1/2}^{1}$

分析第一部分（ $x \to 0$ ）：

在 $(0, \frac{1}{2}]$ 上： $1 - x^{2} \in [\frac{3}{2}, 1]$ 有界，

$\frac{x ^{α}}{1 - x ^{2}} ≲ x^{α}$

收敛当 $α > - 1$ （q-判别法， $q = - α < 1$ ）。

实际上，当 $α \geq 0$ 时，被积函数在 $[0, \frac{1}{2}]$ 上有界，正常积分。

分析第二部分（ $x \to 1$ ）：

令 $x = 1 - t$ ， $d x = - d t$ ， $t \to 0^{+}$ ：

$\int_{1/2}^{1} \frac{x ^{α}}{1 - x ^{2}} d x = \int_{1/2}^{0} \frac{( 1 - t ) ^{α}}{1 - ( 1 - t ) ^{2}} (- d t) = \int_{0}^{1/2} \frac{( 1 - t ) ^{α}}{2 t - t ^{2}} d t$

当 $t \to 0^{+}$ ：

$\frac{( 1 - t ) ^{α}}{2 t - t ^{2}} \sim \frac{1}{2 t} = \frac{1}{2} t^{- 1/2}$

收敛当 $q = \frac{1}{2} < 1$ ✓（始终收敛）

综合：

第一部分收敛当 $α > - 1$ ，

第二部分始终收敛。

答案：

$\int_{0}^{1} \frac{x ^{α}}{1 - x ^{2}} d x {收敛发散 α > - 1 α \leq - 1$

$□$

习题4：证明 $\int_{0}^{π /2} ln (sin x) d x = - \frac{π}{2} ln 2$ 。

解：

记 $I = \int_{0}^{π /2} ln (sin x) d x$ 。

Step 1：换元 $x = \frac{π}{2} - t$ 。

$I = \int_{0}^{π /2} ln (sin (\frac{π}{2} - t)) d t = \int_{0}^{π /2} ln (cos t) d t$

因此：

$I = \int_{0}^{π /2} ln (cos x) d x$

Step 2：相加。

$2 I = \int_{0}^{π /2} [ln (sin x) + ln (cos x)] d x = \int_{0}^{π /2} ln (sin x cos x) d x$

利用 $sin x cos x = \frac{1}{2} sin (2 x)$ ：

$2 I = \int_{0}^{π /2} ln (\frac{sin ( 2 x )}{2}) d x = \int_{0}^{π /2} [ln (sin 2 x) - ln 2] d x$

$= \int_{0}^{π /2} ln (sin 2 x) d x - \frac{π}{2} ln 2$

Step 3：换元处理第一项。

令 $u = 2 x$ ， $d u = 2 d x$ ：

$\int_{0}^{π /2} ln (sin 2 x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} ln (sin u) d u$

利用对称性 $\int_{0}^{π} ln (sin u) d u = 2 \int_{0}^{π /2} ln (sin u) d u = 2 I$ ：

$= \frac{1}{2} \cdot 2 I = I$

Step 4：回代求解。

$2 I = I - \frac{π}{2} ln 2$

$I = - \frac{π}{2} ln 2$

$□$

习题5：计算 $\int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x$ 。

解：

令 $u = 1 + x^{2}$ ， $d u = 2 x d x$ ：

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{+ \infty} \frac{d u}{u ^{2}} = \frac{1}{2} [- \frac{1}{u}]_{1}^{+ \infty}$

$= \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2}$

答案： $\frac{1}{2}$ $□$

习题6：证明：若 $f$ 在 $[a, + \infty)$ 上连续， $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛，且 $lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ 存在，则 $L = 0$ 。

证明：

反证法：假设 $L \neq = 0$ ，不妨设 $L > 0$ （ $L < 0$ 类似）。

由极限定义， $\exists M > a$ ，当 $x > M$ 时，

$f (x) > \frac{L}{2}$

因此：

$\int_{M}^{+ \infty} f (x) d x \geq \int_{M}^{+ \infty} \frac{L}{2} d x = \frac{L}{2} u \to + \infty lim (u - M) = + \infty$

这与 $\int_{a}^{+ \infty} f$ 收敛矛盾！

因此 $L = 0$ 。 $□$

注记：反之不成立！即 $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ 不能保证 $\int_{a}^{+ \infty} f$ 收敛。

反例： $f (x) = \frac{1}{x}$ ，有 $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ ，但 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x} = + \infty$ 。

15.3 综合应用题

习题7：讨论含参变量积分

$F (α) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{α} e ^{- x}}{1 + x} d x$ 的收敛性（ $α \in R$ ）。

解：

识别"坏点"：

$x = 0$ ：若 $α < 0$ ，则瑕点
$x = + \infty$ ：无穷区间

分段（ $c = 1$ ）：

$F (α) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{α} e ^{- x}}{1 + x} d x + \int_{1}^{+ \infty} \frac{x ^{α} e ^{- x}}{1 + x} d x = I_{1} (α) + I_{2} (α)$

分析 $I_{1} (α)$ （瑕积分）：

在 $(0, 1]$ 上： $e^{- x} \in [e^{- 1}, 1]$ ， $1 + x \in [1, 2]$ 有界，

$\frac{x ^{α} e ^{- x}}{1 + x} \sim x^{α} (x \to 0)$

由q-判别法：收敛当 $α > - 1$ 。

分析 $I_{2} (α)$ （无穷积分）：

当 $x \to + \infty$ 时：

$\frac{x ^{α} e ^{- x}}{1 + x} \sim \frac{x ^{α} e ^{- x}}{x} = x^{α - 1} e^{- x}$

由于 $e^{- x}$ 衰减极快（比任何多项式都快），

对任何 $α \in R$ ，都有：

$\int_{1}^{+ \infty} x^{α - 1} e^{- x} d x < + \infty$

（实际上 $= Γ (α)$ 若 $α > 0$ ，或更弱估计）

因此 $I_{2} (α)$ 对所有 $α$ 收敛。

综合：

$F (α) {收敛发散 α > - 1 α \leq - 1$

$□$

习题8：设 $f$ 在 $[1, + \infty)$ 上连续、非负、单调递减，证明：

$\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x 与 n = 1 \sum \infty f (n) 同敛散$

（这是积分判别法）

证明：

Step 1：建立不等式。

对于 $n \in N$ ，在区间 $[n, n + 1]$ 上：

由于 $f$ 单调递减：

$f (n + 1) \leq f (x) \leq f (n), \forall x \in [n, n + 1]$

积分：

$f (n + 1) \leq \int_{n}^{n + 1} f (x) d x \leq f (n)$

Step 2：求和。

$n = 1 \sum N - 1 f (n + 1) \leq n = 1 \sum N - 1 \int_{n}^{n + 1} f \leq n = 1 \sum N - 1 f (n)$

即：

$n = 2 \sum N f (n) \leq \int_{1}^{N} f (x) d x \leq n = 1 \sum N - 1 f (n)$

Step 3：令 $N \to + \infty$ 。

(a) 若 $\int_{1}^{+ \infty} f$ 收敛：

由右边不等式：

$n = 1 \sum N - 1 f (n) \leq \int_{1}^{N} f \leq \int_{1}^{+ \infty} f < + \infty$

部分和有界，级数收敛。

(b) 若 $\sum_{n = 1}^{\infty} f (n)$ 收敛：

由左边不等式：

$\int_{1}^{N} f \leq n = 1 \sum N - 1 f (n) + f (1) \leq n = 1 \sum \infty f (n) + f (1) < + \infty$

积分收敛。 $□$

应用：

$\sum \frac{1}{n ^{p}}$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $p > 1$
$\sum \frac{1}{n l n n}$ 发散 $\Leftrightarrow$ $\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x l n x}$ 发散

习题9：计算 $\int_{0}^{+ \infty} x^{n} e^{- x^{2}} d x$ （ $n \in N_{0}$ ）。

解：

情况1： $n$ 为奇数，设 $n = 2 k + 1$ 。

令 $t = x^{2}$ ， $d t = 2 x d x$ ：

$\int_{0}^{+ \infty} x^{2 k + 1} e^{- x^{2}} d x = \int_{0}^{+ \infty} x^{2 k} \cdot x e^{- x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} t^{k} e^{- t} d t$

$= \frac{1}{2} Γ (k + 1) = \frac{k !}{2}$

情况2： $n$ 为偶数，设 $n = 2 k$ 。

$\int_{0}^{+ \infty} x^{2 k} e^{- x^{2}} d x$

令 $t = x^{2}$ ， $x = t$ ， $d x = \frac{d t}{2 t}$ ：

$= \int_{0}^{+ \infty} t^{k} e^{- t} \cdot \frac{1}{2 t} d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} t^{k - 1/2} e^{- t} d t$

$= \frac{1}{2} Γ (k + \frac{1}{2})$

利用 $Γ (k + \frac{1}{2}) = \frac{( 2 k - 1 )!!}{2 ^{k}} π$ ：

$= \frac{( 2 k - 1 )!!}{2 ^{k + 1}} π$

答案：

$\int_{0}^{+ \infty} x^{n} e^{- x^{2}} d x = {\frac{k !}{2} \frac{( 2 k - 1 )!!}{2 ^{k + 1}} π n = 2 k + 1 n = 2 k$

$□$

🎓 第十六部分：总结与展望

16.1 核心知识体系回顾

16.1.1 知识地图

mindmap
  root((反常积分完整理论))
    定义与分类
      无穷积分
        Type I: 一端无穷
        Type II: 两端无穷
      瑕积分
        单瑕点
        多瑕点
      混合型
        同时具有两种性质
    收敛性判别
      非负函数
        比较判别法
        极限比较法
        Cauchy判别法
      一般函数
        Dirichlet判别法
        Abel判别法
    特殊函数
      Gamma函数
        Γ(s) = ∫ x^(s-1)e^(-x)dx
        递推: Γ(s+1) = sΓ(s)
      Beta函数
        B(p,q) = ∫ x^(p-1)(1-x)^(q-1)dx
        与Gamma关系
      Dirichlet积分
        ∫ (sin x)/x dx = π/2
    应用领域
      物理
        第二宇宙速度
        能量计算
      概率统计
        正态分布
        期望方差
      工程数学
        Laplace变换
        Fourier变换

16.2 关键定理与公式汇总

16.2.1 标准积分速查表

积分	收敛条件	备注
$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}$	$p > 1$	无穷积分基准
$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{q}}$	$q < 1$	瑕积分基准
$\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( l n x ) ^{r}}$	$r > 1$	对数型无穷积分
$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x l n x}$	发散	对数型瑕积分
$\int_{1}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x ^{p}} d x$	$p > 0$ （条件）， $p > 1$ （绝对）	振荡积分
$\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}$	无论 $p$ 都发散	混合型陷阱
$Γ (s) = \int_{0}^{+ \infty} x^{s - 1} e^{- x} d x$	$s > 0$	Gamma函数
$B (p, q) = \int_{0}^{1} x^{p - 1} (1 - x)^{q - 1} d x$	$p, q > 0$	Beta函数
$\int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x} d x$	$= \frac{π}{2}$	Dirichlet积分

16.2.2 判别法选择流程图

flowchart TD
    Start[判断反常积分] --> Type{类型?}
    
    Type -->|无穷积分| Inf[考虑 x→∞ 行为]
    Type -->|瑕积分| Sing[考虑瑕点行为]
    Type -->|混合型| Mixed[分段讨论]
    
    Inf --> InfSign{符号?}
    Sing --> SingSign{符号?}
    
    InfSign -->|非负| InfNonneg[比较/Cauchy判别法<br/>标准: 1/x^p, p>1收敛]
    InfSign -->|变号| InfOsc[Dirichlet/Abel判别法<br/>典型: sin x/x^p]
    
    SingSign -->|非负| SingNonneg[比较/q-判别法<br/>标准: 1/x^q, q<1收敛]
    SingSign -->|变号| SingOsc[Dirichlet/Abel判别法<br/>对称于无穷积分]
    
    Mixed --> Split[选分点c<br/>分成多段]
    Split --> Judge[逐段判别]
    Judge --> AllConv{全部收敛?}
    AllConv -->|是| Conv[整体收敛]
    AllConv -->|否| Div[整体发散]
    
    style Conv fill:#9f9
    style Div fill:#f99

16.3 常见错误与注意事项

16.3.1 十大常见错误

混淆 $p$ 和 $q$ 的收敛方向
- ❌ 认为瑕积分也是 $q > 1$ 收敛
- ✅ 记住：无穷积分"大"收敛，瑕积分"小"收敛
忽略混合型积分的双重困难
- ❌ 只判断一端就下结论
- ✅ 必须分段，两端都要检查
滥用 Dirichlet 判别法
- ❌ 忘记验证单调性
- ✅ 三个条件缺一不可： $F$ 有界、 $g$ 单调、 $g \to 0$
临界情形 $p = 1$ 或 $q = 1$ 的处理
- ❌ 直接套用不等式判别
- ✅ 需要更精细分析（如对数因子）
绝对值符号的遗忘
- ❌ 认为收敛就是绝对收敛
- ✅ 必须单独验证 $\int ∣ f ∣$ 的收敛性
瑕点识别不全
- ❌ 只看端点，忽略内点
- ✅ 检查所有可能使被积函数无界的点
等价无穷小使用不当
- ❌ 在不同趋向过程中混用
- ✅ 明确是 $x \to 0$ 、 $x \to + \infty$ 还是 $x \to$ 其他点
Gamma 函数的定义域
- ❌ 忘记 $Γ (s)$ 要求 $s > 0$
- ✅ 负数需要解析延拓
积分区间可加性的误用
- ❌ 随意拆分导致出现新的瑕点
- ✅ 分点必须是"好点"（函数连续有界）
极限运算与积分交换
- ❌ 未验证条件就交换次序
- ✅ 需要控制收敛定理等严格条件

16.3.2 解题检查清单

判断反常积分收敛性的标准流程：

Step 1：识别积分类型（无穷/瑕/混合）
Step 2：找出所有"坏点"（无穷端点、瑕点）
Step 3：若有多个坏点，选择分点拆分
Step 4：判断被积函数符号（非负/变号）
Step 5：选择合适的判别法
- 非负 → 比较/Cauchy
- 变号 → Dirichlet/Abel
Step 6：计算关键极限（若使用极限形式）
Step 7：写出结论（收敛/发散）
Step 8：若要求绝对收敛性，额外判断 $\int ∣ f ∣$

16.4 进阶主题预览

16.4.1 含参变量的反常积分

定义：

$F (α) = \int_{a}^{+ \infty} f (x, α) d x$

关键问题：

一致收敛性：何时能保证 $F (α)$ 连续？
可微性：何时能在积分号下求导？ $\frac{d}{d α} \int_{a}^{+ \infty} f (x, α) d x = \int_{a}^{+ \infty} \frac{\partial f}{\partial α} (x, α) d x$
可积性：何时能交换积分次序？