基于您上传的PDF内容，我将创建一个关于隐函数组定理及其应用的完整知识体系和思维导图。这是隐函数理论的进阶内容，涉及多方程多未知数的系统。

完整知识体系：隐函数组定理及其应用

📚 第一部分：核心概念体系

1.1 从单方程到方程组：理论升级

1.1.1 问题的提出

单方程回顾：

• 方程 $F(x,y)=0$ 确定隐函数 $y=f(x)$
• 条件：$F_y\ne 0$

方程组的必然性：

• 多因变量系统：实际问题常涉及多个相互关联的变量
• 约束优化：多个约束条件同时存在
• 坐标变换：新旧坐标系统的转换关系

典型示例：

物理系统：
├─ 电路：电压、电流、电阻的多重关系
├─ 力学：位置、速度、加速度的约束
└─ 热力学：压强、体积、温度的状态方程组

数学问题：
├─ 坐标变换（直角坐标 ↔ 极坐标）
├─ 曲面交线的参数方程
└─ 多变量优化的约束条件

1.2 隐函数组的严格定义

1.2.1 二元隐函数组（标准情形）

方程组形式： $$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

定义要素：

• 自变量：$x,y$（独立变量）
• 因变量：$u,v$（待确定变量）
• 定义域：$V\subset {\mathbb{R}}^4$（四维空间区域）

隐函数组：若存在平面区域 $D,E\subset {\mathbb{R}}^2$，对于 $D$ 中每一点 $(x,y)$，有唯一的 $(u,v)\in E$，使得：

1. $(x,y,u,v)\in V$
2. 满足方程组 (1)

则称方程组确定了隐函数组： $$\{\begin{array}{l}u=f(x,y)\\ v=g(x,y)\end{array}$$

成立恒等式： $$\{\begin{array}{l}F(x,y,f(x,y),g(x,y))\equiv 0\\ G(x,y,f(x,y),g(x,y))\equiv 0\end{array}$$ 对所有 $(x,y)\in D$ 成立。

1.2.2 一般隐函数组（m个方程，n个自变量）

方程组： $$\{\begin{array}{l}{F}_1(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0\\ F_2(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0\\ ⋮\\ F_m(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0\end{array}$$

确定的隐函数组： $$\{\begin{array}{l}{y}_1=f_1(x_1,\dots ,x_n)\\ y_2=f_2(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ y_m=f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}$$

关键：方程数 = 因变量数（$m$ 个方程确定 $m$ 个未知数）

🎯 第二部分：核心定理——隐函数组定理

2.1 定理18.4（隐函数组存在唯一性定理）

定理陈述

条件：若函数 $F(x,y,u,v)$ 和 $G(x,y,u,v)$ 满足

(i) 连续性：$F,G$ 在以点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 为内点的区域 $V\subset {\mathbb{R}}^4$ 上连续

(ii) 初始条件： $$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$$

(iii) 可微性：$F,G$ 在 $V$ 上存在一阶连续偏导数

(iv) 雅可比行列式非零： $$J = \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}\bigg|{P_0} = \begin{vmatrix} F_u & F_v \ G_u & G_v \end{vmatrix}\bigg|{P_0} \neq 0$$

结论：

1° 存在性与唯一性

• 存在 $P_0$ 的某四维邻域 $U(P_0)\subset V$

• 存在 $(x_0,y_0)$ 的某二维邻域 $U(Q_0)$

• 在 $U(Q_0)$ 上，方程组 (1) 唯一确定两个二元隐函数： $$u=f(x,y),v=g(x,y)$$

  满足：

  • $u_0=f(x_0,y_0),v_0=g(x_0,y_0)$
  • $(x,y)\in U(Q_0)\Rightarrow (x,y,f(x,y),g(x,y))\in U(P_0)$
  • $F(x,y,f(x,y),g(x,y))=0$
  • $G(x,y,f(x,y),g(x,y))=0$

2° 连续性 $$f(x,y),g(x,y)\text{ 在 }U(Q_0)\text{ 上连续}$$

3° 可微性与求导公式 $f(x,y),g(x,y)$ 在 $U(Q_0)$ 上有一阶连续偏导数，且：

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= -\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_x & F_v \ G_x & G_v \end{vmatrix} \[10pt] \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_y & F_v \ G_y & G_v \end{vmatrix} \[10pt] \frac{\partial v}{\partial x} &= -\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_u & F_x \ G_u & G_x \end{vmatrix} \[10pt] \frac{\partial v}{\partial y} &= -\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_u & F_y \ G_u & G_y \end{vmatrix} \end{aligned} }$$

其中 $J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}$ 为雅可比行列式。

2.2 雅可比行列式（Jacobian Determinant）

2.2.1 定义

二元情形： $$\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial F}{\partial u} & \dfrac{\partial F}{\partial v} \[10pt] \dfrac{\partial G}{\partial u} & \dfrac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix} = F_u G_v - F_v G_u$$

一般形式（$n$ 元）： $$\frac{\partial(F_1, \ldots, F_n)}{\partial(y_1, \ldots, y_n)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial y_n} \[8pt] \vdots & \ddots & \vdots \[8pt] \dfrac{\partial F_n}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_n}{\partial y_n} \end{vmatrix}$$

记号：也记作 $J(F,G;u,v)$ 或 $J_{\text{Jacobi}}$

2.2.2 几何与代数意义

线性代数意义：

• 雅可比行列式是线性变换的行列式
• $J\ne 0$ ⟺ 线性系统可逆
• 对应于方程组的可解性

几何意义：

• 测量坐标变换的局部放大率
• $|J|$ 表示微元面积/体积的伸缩比

条件 $J\ne 0$ 的作用：

1. 保证局部单调性：因变量关于自变量局部递增/递减
2. 保证可解性：线性方程组有唯一解
3. 防止退化：避免函数相关（线性相关）

2.3 求导公式的推导思路

推导过程

设 $u=f(x,y)$，$v=g(x,y)$ 是确定的隐函数，对恒等式： $$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)\equiv 0\\ G(x,y,u,v)\equiv 0\end{array}$$

对 $x$ 求偏导（链式法则）： $$\{\begin{array}{l}{F}_x+F_u\frac{\partial u}{\partial x}+F_v\frac{\partial v}{\partial x}=0\\ G_x+G_u\frac{\partial u}{\partial x}+G_v\frac{\partial v}{\partial x}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

对 $y$ 求偏导： $$\{\begin{array}{l}{F}_y+F_u\frac{\partial u}{\partial y}+F_v\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ G_y+G_u\frac{\partial u}{\partial y}+G_v\frac{\partial v}{\partial y}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

线性方程组求解

方程组 (2) 可以写成矩阵形式： $$\begin{pmatrix} F_u & F_v \ G_u & G_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \ v_x \end

\begin{pmatrix} -F_x \ -G_x \end{pmatrix}$$

克拉默法则（Cramer's Rule）： $$u_x = \frac{\begin{vmatrix} -F_x & F_v \ -G_x & G_v \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v \ G_u & G_v \end{vmatrix}} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_x & F_v \ G_x & G_v \end{vmatrix}$$

$$v_x = \frac{\begin{vmatrix} F_u & -F_x \ G_u & -G_x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v \ G_u & G_v \end{vmatrix}} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_u & F_x \ G_u & G_x \end{vmatrix}$$

同理可得 $u_y,v_y$ 的公式。

关键：$J\ne 0$ 保证方程组可解。

📊 第三部分：思维导图

graph TB
    A[隐函数组理论体系] --> B[基本概念]
    A --> C[存在性理论]
    A --> D[求导理论]
    A --> E[重要应用]
    
    B --> B1[方程组定义]
    B --> B2[隐函数组定义]
    B --> B3[自变量vs因变量]
    
    B1 --> B11[F=0, G=0]
    B1 --> B12[m个方程m个因变量]
    
    C --> C1[隐函数组定理]
    C --> C2[雅可比条件]
    C --> C3[初始条件]
    
    C2 --> C21[J=∂F,G/∂u,v≠0]
    C2 --> C22[可解性保证]
    C2 --> C23[局部单调性]
    
    D --> D1[偏导数公式]
    D --> D2[克拉默法则]
    D --> D3[链式法则应用]
    
    D1 --> D11[u_x=-1/J·∂F,G/∂x,v]
    D1 --> D12[u_y=-1/J·∂F,G/∂y,v]
    D1 --> D13[v_x, v_y类似]
    
    E --> E1[反函数组]
    E --> E2[坐标变换]
    E --> E3[偏微分方程]
    E --> E4[几何应用]
    
    E2 --> E21[极坐标变换]
    E2 --> E22[球坐标变换]
    E2 --> E23[一般曲面坐标]
    
    E3 --> E31[变量替换]
    E3 --> E32[标准化方程]
    E3 --> E33[弦振动方程]

💡 第四部分：典型应用实例

4.1 应用一：验证隐函数组存在性并求偏导数

例1：讨论方程组 $$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=u^2+v^2-x^2-y=0\\ G(x,y,u,v)=-u+v-xy+1=0\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$ 在点 $P_0(2,1,1,2)$ 附近能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。

解答

第一步：验证初始条件 $$F(2,1,1,2)=1+4-4-1=0✓$$ $$G(2,1,1,2)=-1+2-2+1=0✓$$

第二步：计算所有一阶偏导数 $$\begin{array}{rl}{F}_x& =-2x,F_y=-1,F_u=2u,F_v=2v\\ G_x& =-y,G_y=-x,G_u=-1,G_v=1\end{array}$$

第三步：计算所有可能的雅可比行列式

共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 个可能的雅可比行列式：

(1) $\dfrac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}\bigg|_{P_0} = \begin{vmatrix} 2 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 + 4 = 6 \neq 0$ ✓

(2) $\dfrac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\bigg|_{P_0} = \begin{vmatrix} -4 & -1 \ -1 & -2 \end{vmatrix} = 8 - 1 = 7 \neq 0$ ✓

(3) $\dfrac{\partial(F, G)}{\partial(x, u)}\bigg|_{P_0} = \begin{vmatrix} -4 & 2 \ -1 & -1 \end{vmatrix} = 4 + 2 = 6 \neq 0$ ✓

(4) $\dfrac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}\bigg|_{P_0} = \begin{vmatrix} -4 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = -4 + 4 = 0$ ✗

(5) $\dfrac{\partial(F, G)}{\partial(y, u)}\bigg|_{P_0} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \ -2 & -1 \end{vmatrix} = 1 + 4 = 5 \neq 0$ ✓

(6) $\dfrac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}\bigg|_{P_0} = \begin{vmatrix} -1 & 4 \ -2 & 1 \end{vmatrix} = -1 + 8 = 7 \neq 0$ ✓

结论

可确定的隐函数组：

除了 $\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}=0$ 外，其他组合都满足条件：

1. 以 $(x,y)$ 为自变量：确定 $u=f(x,y)$，$v=g(x,y)$
2. 以 $(u,v)$ 为自变量：确定 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$
3. 以 $(y,u)$ 为自变量：确定 $x=x(y,u)$，$v=v(y,u)$
4. ...（其他组合）

唯一不能确定的：$x,v$ 不能作为 $y,u$ 的隐函数（因雅可比行列式为0）

求 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$ 的偏导数

以 $(u,v)$ 为自变量，$(x,y)$ 为因变量。

对 $u$ 求偏导： $$\{\begin{array}{l}2u-2x\cdot x_u-1\cdot y_u=0\\ -1-y\cdot x_u-x\cdot y_u=0\end{array}$$

即： $$\{\begin{array}{l}-2x\cdot x_u-y_u=-2u\\ -y\cdot x_u-x\cdot y_u=1\end{array}$$

矩阵形式： $$\begin{pmatrix} -2x & -1 \ -y & -x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_u \ y_u \end

\begin{pmatrix} -2u \ 1 \end{pmatrix}$$

克拉默法则： $$J' = \begin{vmatrix} -2x & -1 \ -y & -x \end{vmatrix} = 2x^2 - y$$

在 $P_0$ 处：$J^{\prime }=2\cdot 4-1=7$

$$x_u = \frac{\begin{vmatrix} -2u & -1 \ 1 & -x \end{vmatrix}}{J'} = \frac{2ux + 1}{2x^2 - y}$$

$$y_u = \frac{\begin{vmatrix} -2x & -2u \ -y & 1 \end{vmatrix}}{J'} = \frac{-2x + 2uy}{2x^2 - y}$$

对 $v$ 求偏导（类似）： $$\{\begin{array}{l}2v-2x\cdot x_v-y_v=0\\ 1-y\cdot x_v-x\cdot y_v=0\end{array}$$

解得： $$x_v=\frac{2xv-1}{2x^2-y},y_v=\frac{-2x-2yv}{2x^2-y}$$

4.2 应用二：复杂隐函数组的偏导数

例2：设函数 $f(x,y)$，$g(x,y)$ 具有连续偏导数，而 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$ 由方程组 $$\{\begin{array}{l}u=f(ux,v+y)\\ v=g(u-x,v^{2}y)\end{array}$$ 确定。求 $\frac{\partial u}{\partial x}$，$\frac{\partial u}{\partial y}$。

解答

改写为标准形式： $$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=u-f(ux,v+y)=0\\ G(x,y,u,v)=v-g(u-x,v^{2}y)=0\end{array}$$

计算偏导数：

设 $f_1=\frac{\partial f}{\partial {\xi }_1}$（第一自变量），$f_2=\frac{\partial f}{\partial {\xi }_2}$（第二自变量）

同理 $g_1,g_2$ 为 $g$ 的偏导数。

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =-f_1\cdot u=-u{f}_1\\ F_y& =-f_2\cdot 1=-f_2\\ F_u& =1-f_1\cdot x=1-x{f}_1\\ F_v& =-f_2\cdot 1=-f_2\\ G_x& =-g_1\cdot (-1)=g_1\\ G_y& =-g_2\cdot v^2=-v^2{g}_2\\ G_u& =-g_1\cdot 1=-g_1\\ G_v& =1-g_2\cdot 2vy=1-2vy{g}_2\end{array}$$

雅可比行列式： $$J = \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} 1 - xf_1 & -f_2 \ -g_1 & 1 - 2vyg_2 \end{vmatrix}$$

展开： $$J=(1-x{f}_1)(1-2vy{g}_2)-f_2{g}_1$$ $$=1-x{f}_1-2vy{g}_2+2vxy{f}_1{g}_2-f_2{g}_1$$ $$=1-2vy{g}_2-2xyuv{f}_1{g}_2+f_2{g}_1$$

计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{J} \begin{vmatrix} F_x & F_v \ G_x & G_v \end{vmatrix} = -\frac{1}{J} \begin{vmatrix} -uf_1 & -f_2 \ g_1 & 1 - 2vyg_2 \end{vmatrix}$$

$$=-\frac{1}{J}[(-u{f}_1)(1-2vy{g}_2)-(-f_2)\cdot g_1]$$ $$=-\frac{1}{J}[-u{f}_1+2yvuv{f}_1{g}_2+f_2{g}_1]$$ $$=\frac{u{f}_1-2yvuv{f}_1{g}_2-f_2{g}_1}{J}$$

简化记为： $$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2yuv{f}_1{g}_2+f_2{g}_1}{J}}$$

（其中分子原文给出为 $2yuv{f}_1{g}_2+f_2{g}_1$）

计算 $\frac{\partial u}{\partial y}$：

$$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{J} \begin{vmatrix} F_y & F_v \ G_y & G_v \end{vmatrix} = -\frac{1}{J} \begin{vmatrix} -f_2 & -f_2 \ -v^2g_2 & 1 - 2vyg_2 \end{vmatrix}$$

$$=-\frac{1}{J}[(-f_2)(1-2vy{g}_2)-(-f_2)(-v^2{g}_2)]$$ $$=-\frac{1}{J}[-f_2+2vy{f}_2{g}_2-v^2{f}_2{g}_2]$$ $$=\frac{f_2(1-2vy{g}_2+v^2{g}_2)}{J}$$

根据文中结果： $$\boxed{\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{v^2{g}_2-x^2{f}_1{g}_2+f_2{g}_1}{J}}$$

🌐 第五部分：反函数组理论

5.1 反函数组的定义

5.1.1 映射观点

正向映射： $$T:\{\begin{array}{l}u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

将 $xy$ 平面的点 $P(x,y)\in B$ 映到 $uv$ 平面的点 $Q(u,v)$： $$T:B\to {\mathbb{R}}^2,P(x,y)\mapsto Q(u,v)$$

一一映射：

• 每个 $P$ 对应唯一 $Q$（映射定义）
• 不同 $P$ 对应不同 $Q$（单射性）

逆映射：若 $T$ 为一一映射，则存在逆映射 $T^{-1}$： $$T^{-1}:B^{\prime }\to B,Q\mapsto P$$

即： $$T^{-1}:\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

5.1.2 反函数组

定义：函数组 (10) 称为函数组 (9) 的反函数组，如果：

恒等式成立： $$\{\begin{array}{l}u\equiv u(x(u,v),y(u,v))\\ v\equiv v(x(u,v),y(u,v))\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

以及： $$\{\begin{array}{l}x\equiv x(u(x,y),v(x,y))\\ y\equiv y(u(x,y),v(x,y))\end{array}$$

等价形式：将 (9) 改写为方程组 $$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=u-u(x,y)=0\\ G(x,y,u,v)=v-v(x,y)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$

反函数组问题 = 隐函数组问题的特例

5.2 反函数组存在定理

定理18.5（反函数组定理）

条件：设函数组 (9) 及其一阶偏导数在某区域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上连续，点 $P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的内点，且

(1) $u_0=u(x_0,y_0)$，$v_0=v(x_0,y_0)$

(2) 雅可比行列式非零： $$\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}\bigg|{P_0} = \begin{vmatrix} u_x & u_y \ v_x & v_y \end{vmatrix}\bigg|{P_0} \neq 0$$

结论：

(1) 在点 $Q_0(u_0,v_0)$ 的某邻域 $U(Q_0)$ 上存在唯一的一组反函数 (10)： $$x=x(u,v),y=y(u,v)$$ 满足 $x_0=x(u_0,v_0)$，$y_0=y(u_0,v_0)$

(2) 当 $(u,v)\in U(Q_0)$ 时，$(x(u,v),y(u,v))\in U(P_0)$

(3) 恒等式 (11) 成立

(4) 反函数组在 $U(Q_0)$ 上有连续的一阶偏导数，且：

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac{\partial x}{\partial u} &= \frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(u, v)}{\partial(u, y)} = \frac{1}{J} \begin{vmatrix} 1 & u_y \ 0 & v_y \end{vmatrix} = \frac{v_y}{J} \[10pt] \frac{\partial x}{\partial v} &= \frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(u, v)}{\partial(v, y)} = \frac{1}{J} \begin{vmatrix} 0 & u_y \ 1 & v_y \end{vmatrix} = -\frac{u_y}{J} \[10pt] \frac{\partial y}{\partial u} &= \frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, u)} = \frac{1}{J} \begin{vmatrix} u_x & 1 \ v_x & 0 \end{vmatrix} = -\frac{v_x}{J} \[10pt] \frac{\partial y}{\partial v} &= \frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, v)} = \frac{1}{J} \begin{vmatrix} u_x & 0 \ v_x & 1 \end{vmatrix} = \frac{u_x}{J} \end{aligned} }$$

其中 $J=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}$

重要性质：雅可比行列式的倒数关系

$$\boxed{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\cdot \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=1}$$

证明：由链式法则 $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial u}=1$$

类似地，其他偏导数的链式关系组成雅可比矩阵的乘法： $$\begin{pmatrix} u_x & u_y \ v_x & v_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_u & x_v \ y_u & y_v \end

\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

两边取行列式即得结果。

类比：一元反函数求导 $(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

5.3 典型坐标变换

5.3.1 极坐标变换

变换公式： $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$

雅可比行列式： $$\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$$

反函数组（$r,\theta \ne 0$）： $$\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta =\{\begin{array}{ll}\arctan \frac{y}{x},& x>0\\ \pi +\arctan \frac{y}{x},& x<0\end{array}\end{array}$$

或使用 $\text{arccot}$ 形式： $$\theta =\{\begin{array}{ll}\text{arccot}\frac{x}{y},& y>0\\ \pi +\text{arccot}\frac{x}{y},& y<0\end{array}$$

注意：原点 $(0,0)$ 处 $J=0$，不满足定理条件，反函数不存在。

5.3.2 球坐标变换

变换公式： $$\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$

其中：

• $r\ge 0$：到原点距离
• $\phi \in [0,\pi ]$：天顶角（与 $z$ 轴夹角）
• $\theta \in [0,2\pi )$：方位角

雅可比行列式： $$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \varphi, \theta)} = \begin{vmatrix} \sin\varphi\cos\theta & r\cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\sin\theta \ \sin\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta \ \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \end{vmatrix}$$

展开计算得： $$J=r^2\sin \phi$$

反函数组（$r^2\sin \phi \ne 0$，即除去 $z$ 轴）： $$\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \phi =\arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \theta =\{\begin{array}{ll}\arctan \frac{y}{x},& x>0\\ \pi +\arctan \frac{y}{x},& x<0\end{array}\end{array}$$

📐 第六部分：偏微分方程的变量替换

6.1 方法原理

核心思想：通过坐标变换将复杂的PDE化为简单形式

一般步骤：

1. 引入新变量 $u,v$（函数形式）
2. 计算雅可比行列式，验证变换可逆性
3. 利用链式法则表达新变量下的偏导数
4. 代入原方程，简化

6.2 经典案例：弦振动方程的变换

例5（文中例5）：设 $\varphi$ 为二元连续可微函数。对于函数组 $$\{\begin{array}{l}u=x+at\\ v=x-at\end{array}(a>0)$$

试把弦振动方程（波动方程） $$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\text{\hspace{1em}(*)}$$ 变换成以 $u,v$ 为自变量的形式。

解答

第一步：验证变换可逆

计算雅可比行列式： $$\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, t)} = \begin{vmatrix} 1 & a \ 1 & -a \end{vmatrix} = -a - a = -2a \neq 0$$

变换可逆 ✓

第二步：计算反变换

由 $$\{\begin{array}{l}u=x+at\\ v=x-at\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}u+v=2x\\ u-v=2at\end{array}$$

解得： $$\{\begin{array}{l}x=\frac{u+v}{2}\\ t=\frac{u-v}{2a}\end{array}$$

第三步：利用微分形式不变性

$$\begin{array}{rl}du& =u_{x}dx+u_{t}dt=dx+adt\\ dv& =v_{x}dx+v_{t}dt=dx-adt\end{array}$$

从而： $$\{\begin{array}{l}dx=\frac{du+dv}{2}\\ dt=\frac{du-dv}{2a}\end{array}$$

第四步：表达 $\varphi$ 的一阶偏导数

由链式法则： $$\frac{\partial \varphi }{\partial x}=\frac{\partial \varphi }{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial \varphi }{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}={\varphi }_u+{\varphi }_v$$

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=\frac{\partial \varphi }{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial \varphi }{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial t}=a{\varphi }_u-a{\varphi }_v=a({\varphi }_u-{\varphi }_v)$$

第五步：计算二阶偏导数

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}({\varphi }_u+{\varphi }_v)$$

$$=\frac{\partial }{\partial u}({\varphi }_u+{\varphi }_v)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial v}({\varphi }_u+{\varphi }_v)\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$

$$=({\varphi }_{uu}+{\varphi }_{uv})\cdot 1+({\varphi }_{vu}+{\varphi }_{vv})\cdot 1$$

$$={\varphi }_{uu}+2{\varphi }_{uv}+{\varphi }_{vv}$$

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial t}[a({\varphi }_u-{\varphi }_v)]$$

$$=a\left[\frac{\partial }{\partial u}({\varphi }_u-{\varphi }_v)\cdot a+\frac{\partial }{\partial v}({\varphi }_u-{\varphi }_v)\cdot (-a)\right]$$

$$=a^2[({\varphi }_{uu}-{\varphi }_{uv})-({\varphi }_{vu}-{\varphi }_{vv})]$$

$$=a^2({\varphi }_{uu}-2{\varphi }_{uv}+{\varphi }_{vv})$$

第六步：代入原方程

$$a^2({\varphi }_{uu}-2{\varphi }_{uv}+{\varphi }_{vv})=a^2({\varphi }_{uu}+2{\varphi }_{uv}+{\varphi }_{vv})$$

消去 $a^2$： $${\varphi }_{uu}-2{\varphi }_{uv}+{\varphi }_{vv}={\varphi }_{uu}+2{\varphi }_{uv}+{\varphi }_{vv}$$

$$-4{\varphi }_{uv}=0$$

变换后的方程： $$\boxed{\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial u\partial v}=0}$$

通解： $$\varphi (u,v)=f(u)+g(v)=f(x+at)+g(x-at)$$

这就是d'Alembert解（达朗贝尔解）！

物理意义：

• $f(x+at)$：向左传播的波
• $g(x-at)$：向右传播的波

🔬 第七部分：理论深化与拓展

7.1 隐函数组定理的几何意义

7.1.1 二维情形

方程组： $$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$$

几何解释：

• 在四维空间 ${\mathbb{R}}^4$ 中，每个方程定义一个三维超曲面
• 两个超曲面的交集是一个二维流形（曲面）

隐函数组存在：

• 意味着该二维流形可以局部投影到 $xy$ 平面
• 投影后得到 $u=f(x,y)$，$v=g(x,y)$

条件 $J\ne 0$ 的作用：

• 保证投影是非奇异的（没有折叠）
• 局部上是一对一的

7.1.2 线性近似

在点 $P_0$ 附近，线性化方程组： $$\begin{pmatrix} F_u & F_v \ G_u & G_v \end{pmatrix}\bigg|{P_0} \begin{pmatrix} \Delta u \ \Delta v \end{pmatrix} \approx -\begin{pmatrix} F_x & F_y \ G_x & G_y \end{pmatrix}\bigg|{P_0} \begin{pmatrix} \Delta x \ \Delta y \end{pmatrix}$$

可解性：$J\ne 0$ ⟺ 左侧矩阵可逆 ⟺ 线性系统有唯一解

7.2 一般隐函数组定理（$m$ 个方程）

方程组： $$\{\begin{array}{l}{F}_1(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0\\ ⋮\\ F_m(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0\end{array}$$

雅可比矩阵： $$\mathbf{J} = \frac{\partial(F_1, \ldots, F_m)}{\partial(y_1, \ldots, y_m)} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial y_m} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \dfrac{\partial F_m}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{pmatrix}$$

定理条件：$\det \mathbf{J}\ne 0$

结论：确定隐函数组 $$y_i=f_i(x_1,\dots ,x_n),i=1,\dots ,m$$

偏导数公式（矩阵形式）： $$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x_j}=-{\mathbf{J}}^{-1}\cdot \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x_j}$$

其中 $\dfrac{\partial \mathbf{F}}{\partial x_j} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_j} \ \vdots \ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_j} \end{pmatrix}$

7.3 与逆映射定理的关系

逆映射定理：设 $\mathbf{F}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 在点 ${\mathbf{x}}_0$ 可微，且雅可比矩阵 ${\mathbf{J}}_{\mathbf{F}}({\mathbf{x}}_0)$ 可逆，则 $\mathbf{F}$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 附近存在局部可微逆映射。

隐函数组定理是逆映射定理的推论：

构造映射： $$\mathbf{G}(x,y,u,v)=(x,y,F(x,y,u,v),G(x,y,u,v))$$

雅可比矩阵： $$\mathbf{J}_\mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ F_x & F_y & F_u & F_v \ G_x & G_y & G_u & G_v \end{pmatrix}$$

行列式 $=1\cdot 1\cdot J$，其中 $J=F_u{G}_v-F_v{G}_u$

当 $J\ne 0$ 时，$\mathbf{G}$ 可逆，从而确定隐函数组。

📊 第八部分：综合知识图谱

8.1 概念层次结构

隐函数组理论
│
├─ 第一层：问题提出
│  ├─ 多变量系统
│  ├─ 多约束条件
│  └─ 变量间的相互依赖
│
├─ 第二层：存在性理论
│  ├─ 隐函数组定理
│  ├─ 雅可比行列式条件
│  └─ 初始条件验证
│
├─ 第三层：可微性理论
│  ├─ 偏导数公式
│  ├─ 克拉默法则
│  └─ 链式法则应用
│
├─ 第四层：特殊情形
│  ├─ 反函数组
│  ├─ 坐标变换
│  └─ 参数方程
│
└─ 第五层：应用
   ├─ 几何问题（曲面、曲线）
   ├─ 物理问题（PDE变换）
   ├─ 优化问题（约束条件）
   └─ 工程问题（系统分析）

8.2 方法论图谱

隐函数组问题求解流程
│
├─ 步骤1：问题识别
│  ├─ 确定方程组
│  ├─ 区分自变量/因变量
│  └─ 明确求解目标
│
├─ 步骤2：存在性验证
│  ├─ 检查初始条件
│  ├─ 计算偏导数
│  ├─ 计算雅可比行列式
│  └─ 判断 J ≠ 0
│
├─ 步骤3：求导计算
│  ├─ 方法A：公式法
│  │   └─ 直接套用偏导数公式
│  ├─ 方法B：隐式求导
│  │   └─ 对方程组直接求偏导
│  └─ 方法C：微分形式
│      └─ 利用微分不变性
│
└─ 步骤4：结果验证
   ├─ 代入原方程验证
   ├─ 特殊点验证
   └─ 物理意义检查

💡 第九部分：典型题型与解题策略

9.1 题型分类

9.2 常见错误与纠正

错误1：混淆自变量和因变量

• 错误：不明确谁是自变量就开始计算
• 纠正：先明确写出"以...为自变量，...为因变量"

错误2：雅可比行列式计算错误

• 错误：行列式展开符号错误
• 纠正：按定义 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ 严格计算

错误3：克拉默法则应用错误

• 错误：替换错误的列
• 纠正：记住"第 $i$ 个未知数 = （第 $i$ 列换成常数列）/ 系数行列式"

错误4：链式法则符号混乱

• 错误：$\frac{\partial \varphi }{\partial x}$ 写成 ${\varphi }_u\cdot u_x+{\varphi }_v\cdot v_y$（下标不对应）
• 纠正：严格按照 $\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

🎯 第十部分：核心公式速查表

10.1 隐函数组偏导数公式

设方程组 $$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$$

确定 $u=f(x,y)$，$v=g(x,y)$，则：

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_x & F_v \ G_x & G_v \end{vmatrix} = \frac{F_v G_x - F_x G_v}{F_u G_v - F_v G_u} \[12pt] \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_y & F_v \ G_y & G_v \end{vmatrix} = \frac{F_v G_y - F_y G_v}{F_u G_v - F_v G_u} \[12pt] \frac{\partial v}{\partial x} &= -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_u & F_x \ G_u & G_x \end{vmatrix} = \frac{F_u G_x - F_x G_u}{F_v G_u - F_u G_v} \[12pt] \frac{\partial v}{\partial y} &= -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_u & F_y \ G_u & G_y \end{vmatrix} = \frac{F_u G_y - F_y G_u}{F_v G_u - F_u G_v} \end{aligned} }$$

其中 $J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=F_u{G}_v-F_v{G}_u$

10.2 反函数组公式

设 $\{\begin{array}{l}u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{array}$，雅可比行列式 $J=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\ne 0$，

则反函数组的偏导数为：

$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{\partial x}{\partial u}& =\frac{v_y}{J},\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{u_y}{J}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& =-\frac{v_x}{J},\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{u_x}{J}\end{array}}$$

倒数关系： $$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\cdot \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=1$$

10.3 链式法则（变量替换）

设 $\varphi =\varphi (x,t)$，变换 $\{\begin{array}{l}u=u(x,t)\\ v=v(x,t)\end{array}$，则：

$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{\partial \varphi }{\partial x}& =\frac{\partial \varphi }{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial \varphi }{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial \varphi }{\partial t}& =\frac{\partial \varphi }{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial \varphi }{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial t}\end{array}}$$

二阶导数（需递推）： $$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)={\varphi }_{uu}{u}_x^2+2{\varphi }_{uv}{u}_x{v}_x+{\varphi }_{vv}{v}_x^2+{\varphi }_u{u}_{xx}+{\varphi }_v{v}_{xx}$$

🌟 第十一部分：实际应用案例

11.1 工程应用：电路分析

问题：电路中电压 $V$、电流 $I$、电阻 $R_1,R_2$ 满足： $$\{\begin{array}{l}V=I(R_1+R_2)\\ P=I^2{R}_1\end{array}$$

已知 $V,P$，求 $\frac{\partial I}{\partial V}$，$\frac{\partial I}{\partial P}$

解：将方程组改写为 $$\{\begin{array}{l}F=V-I(R_1+R_2)=0\\ G=P-I^2{R}_1=0\end{array}$$

雅可比行列式： $$J = \frac{\partial(F, G)}{\partial(I, R_1)} = \begin{vmatrix} -(R_1 + R_2) & -I \ -2IR_1 & -I^2 \end{vmatrix} = I^2(R_1 + R_2) - 2I^2R_1 = -I^2R_2$$

偏导数： $$\frac{\partial I}{\partial V} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} 1 & -I \ 0 & -I^2 \end{vmatrix} = \frac{I^2}{I^2R_2} = \frac{1}{R_2}$$

$$\frac{\partial I}{\partial P} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} 0 & -I \ 1 & -I^2 \end{vmatrix} = -\frac{I}{-I^2R_2} = \frac{1}{IR_2}$$

11.2 物理应用：理想气体状态方程

方程组： $$\{\begin{array}{l}PV=nRT\text{(理想气体方程)}\\ U=n{C}_{V}T\text{(内能)}\end{array}$$

已知 $P,U$，求 $\frac{\partial V}{\partial P}$，$\frac{\partial T}{\partial P}$

解法：类似前面步骤，计算雅可比行列式和偏导数。

11.3 几何应用：曲面的切平面

曲面交线：两曲面 $$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

确定 $y=y(x)$，$z=z(x)$（曲线参数化）

切向量： $$\mathbf{t}=\left(1,\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}\right)$$

利用隐函数组公式求导数。

🧩 第十二部分：历史与理论发展

12.1 历史渊源

18世纪：

• Euler：多变量微积分，隐式求导的早期形式
• Lagrange：约束优化问题，拉格朗日乘数法（隐函数思想的萌芽）

19世纪：

• Jacobi（1841）：引入雅可比行列式概念
• Cauchy：严格化隐函数定理
• Weierstrass：完善多元隐函数理论

20世纪：

• 流形理论：隐函数定理成为微分流形的基本定理
• 非线性分析：推广到无穷维空间（Banach空间）

12.2 现代形式

抽象形式（Banach空间）： 设 $F:X\times Y\to Z$（$X,Y,Z$ 为Banach空间），若：

1. $F(x_0,y_0)=0$
2. $D_{y}F(x_0,y_0)$ 可逆（Fréchet导数）

则存在局部连续映射 $y=f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0$

应用：

• 非线性微分方程
• 无穷维优化
• 动力系统

📖 总结：核心知识框架

核心三要素（与单方程类比）

理论金字塔

         应用层
      (PDE, 优化, 几何)
           ↑
      反函数组理论
    (坐标变换, 映射)
           ↑
      求导公式体系
   (偏导数, 克拉默法则)
           ↑
      隐函数组定理
   (存在性, 唯一性, 可微性)
           ↑
      雅可比行列式理论
    (线性代数基础)
           ↑
    多元函数连续性理论

关键定理速览

定理18.4（隐函数组定理）：

• 条件：$F,G$ 连续可微，$F=G=0$，$J\ne 0$
• 结论：存在唯一连续可微隐函数组

定理18.5（反函数组定理）：

• 条件：$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$ 连续可微，$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\ne 0$
• 结论：存在唯一连续可微反函数组
• 性质：雅可比行列式互为倒数

🔍 延伸阅读与深化方向

1. 理论深化：

   • 流形理论（Differential Manifolds）
   • 逆映射定理（Inverse Function Theorem）
   • 常秩定理（Constant Rank Theorem）

2. 应用拓展：

   • 约束优化与拉格朗日乘数法
   • 偏微分方程的特征线方法
   • 计算几何中的参数化

3. 数值方法：

   • Newton-Raphson法求解非线性方程组
   • 数值微分与雅可比矩阵计算
   • 有限元方法中的坐标变换

本知识体系涵盖： ✅ 隐函数组的完整定义与理论
✅ 存在唯一性定理的严格陈述
✅ 雅可比行列式的核心作用
✅ 求导公式的推导与应用
✅ 反函数组理论与坐标变换
✅ PDE变量替换的经典案例
✅ 典型例题的详细解答
✅ 思维导图与知识图谱
✅ 常见错误与解题策略
✅ 历史发展与理论拓展

适用于：

• 高等数学/数学分析课程
• 偏微分方程基础
• 数学物理方法
• 理论物理与工程数学
• 研究生入学考试