场论初步：梯度、散度、旋度与Hamilton算子完整知识体系

📐 核心知识架构思维导图

                        场论基础 (Field Theory Fundamentals)
                                    |
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            标量场与向量场        微分算子         场的性质与分类
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   标量场(φ)        向量场(F)  ∇        ∇·∇×    保守场    无源场
   温度/势能        力场/速度  梯度     散度旋度  ∇×F=0    ∇·F=0
       |                   |  |           |    |             |
   等值面          场线    Hamilton  Laplace  势函数      管量守恒
   方向导数        通量    算子      算子    存在性      不可压缩
       |                   |  |           |    |             |
   最速上升        环流    ∇φ       ∇²φ    路径无关    源密度=0

第一章：场论的基本概念

1.1 场的定义

1.1.1 标量场

定义 1.1（标量场）

若对空间区域 $G$ 内的每一点 $M (x, y, z)$ ，都对应一个确定的标量 $u$ （数值），则称在 $G$ 内确定了一个标量场，记作：

$u = u (x, y, z), (x, y, z) \in G$

经典例子：

温度场： $T (x, y, z, t)$ 表示空间各点在时刻 $t$ 的温度
- 稳定温度场： $T (x, y, z)$ 不随时间变化
- 非稳定温度场： $T (x, y, z, t)$ 随时间变化
电势场： $ϕ (x, y, z)$ 表示静电场的电势分布
压强场： $p (x, y, z)$ 表示流体内部各点的压强
密度场： $ρ (x, y, z)$ 表示物质密度分布
高度场： $h (x, y)$ 表示地形的海拔高度

1.1.2 向量场

定义 1.2（向量场）

若对空间区域 $G$ 内的每一点 $M (x, y, z)$ ，都对应一个确定的向量 $F$ ，则称在 $G$ 内确定了一个向量场，记作：

$F = F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k$

或分量形式： $F = (P, Q, R)$

经典例子：

速度场： $v (x, y, z, t)$ 表示流体在各点的流速
- 稳定流动： $v (x, y, z)$ 不随时间变化
- 非稳定流动： $v (x, y, z, t)$ 随时间变化
力场： $F (x, y, z)$ 表示空间各点受到的力
- 引力场： $F = - \frac{GM m}{r ^{2}} \hat{r}$
- 电场： $E = \frac{k q}{r ^{2}} \hat{r}$
磁场： $B (x, y, z)$ 表示磁感应强度分布
梯度场：由标量场的梯度形成的向量场

1.2 等值面与场线

1.2.1 等值面（等位面）

定义 1.3（等值面）

标量场 $u (x, y, z) = C$ （常数）所确定的曲面称为该标量场的等值面或等位面。

性质：

不同常数值对应不同的等值面
等值面族充满整个场所在的空间
不同的等值面不会相交（除了奇点）

物理意义：

等温面：温度场的等值面
等压面：压强场的等值面
等势面：电势场的等值面

例子：

点电荷产生的电势场： $ϕ = \frac{k q}{r} = \frac{k q}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}$

等势面方程： $\frac{k q}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}} = C$

即： $x^{2} + y^{2} + z^{2} = (\frac{k q}{C})^{2}$

这是一族以原点为中心的同心球面。

1.2.2 场线（力线、流线）

定义 1.4（场线）

向量场 $F (x, y, z) = (P, Q, R)$ 的场线是这样的曲线：曲线上每一点的切线方向都与该点的向量 $F$ 的方向一致。

微分方程：

场线满足： $\frac{d x}{P ( x , y , z )} = \frac{d y}{Q ( x , y , z )} = \frac{d z}{R ( x , y , z )}$

这是场线的对称形式微分方程。

物理意义：

电力线：电场的场线，表示电场方向
磁力线：磁场的场线，表示磁场方向
流线：速度场的场线，表示流体质点的瞬时运动方向

注意：

流线 ≠ 轨迹线（非定常流动时）
定常流动时，流线 = 轨迹线

例题 1（原文例题）

**问题：**求向量场 $F = (y, - x, 1)$ 的场线方程。

解：

场线方程为： $\frac{d x}{y} = \frac{d y}{- x} = \frac{d z}{1}$

从第一、二项： $\frac{d x}{y} = \frac{d y}{- x}$

$x d x = - y d y$

积分： $\frac{x ^{2}}{2} = - \frac{y ^{2}}{2} + C_{1}$

即： $x^{2} + y^{2} = C_{1}^{'}$

这是圆柱面。

从第二、三项： $\frac{d y}{- x} = \frac{d z}{1}$

$d y = - x d z$

由 $x^{2} + y^{2} = C_{1}^{'}$ ，可设 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$

$r cos θ d θ = - r cos θ d z$

$d θ = - d z$

积分： $θ + z = C_{2}$

场线方程： ${x^{2} + y^{2} = C_{1} arctan \frac{y}{x} + z = C_{2}$

或参数形式： $⎩ ⎨ ⎧ x = r cos t y = r sin t z = - t + C$

这是圆柱面上的螺旋线。

几何图像： 场线是绕 $z$ 轴的圆柱螺旋线，随 $z$ 增大，按右手螺旋向上旋转。

$□$

第二章：方向导数与梯度

2.1 方向导数

2.1.1 定义与概念

定义 2.1（方向导数）

设函数 $u = u (x, y, z)$ 在点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的某邻域内有定义， $l$ 是从 $M_{0}$ 出发的射线， $M (x, y, z)$ 是 $l$ 上的点，以 $ρ$ 表示 $M$ 到 $M_{0}$ 的距离。

若极限 $ρ \to 0^{+} lim \frac{u ( M ) - u ( M _{0} )}{ρ} = ρ \to 0^{+} lim \frac{u ( x _{0} + ρ cos α , y _{0} + ρ cos β , z _{0} + ρ cos γ ) - u ( x _{0} , y _{0} , z _{0} )}{ρ}$

存在，则称此极限为函数 $u$ 在点 $M_{0}$ 沿方向 $l$ 的方向导数，记作：

$\frac{\partial u}{\partial l}_{M_{0}} 或 \frac{\partial u}{\partial l}_{(x_{0}, y_{0}, z_{0})}$

其中 $(cos α, cos β, cos γ)$ 是方向 $l$ 的方向余弦。

2.1.2 计算公式

定理 2.1（方向导数的计算）

若函数 $u = u (x, y, z)$ 在点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 可微，则 $u$ 在 $M_{0}$ 点沿任一方向 $l = (cos α, cos β, cos γ)$ 的方向导数存在，且：

$\frac{\partial u}{\partial l}_{M_{0}} = \frac{\partial u}{\partial x}_{M_{0}} cos α + \frac{\partial u}{\partial y}_{M_{0}} cos β + \frac{\partial u}{\partial z}_{M_{0}} cos γ$

向量形式：

设 $e_{l} = (cos α, cos β, cos γ)$ 是方向 $l$ 的单位向量，则：

$\frac{\partial u}{\partial l} = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}) \cdot e_{l}$

例题 2

**问题：**求函数 $u = x yz$ 在点 $M_{0} (1, 1, 1)$ 沿方向 $l = (1, 2, 2)$ 的方向导数。

解：

第一步：计算偏导数

$\frac{\partial u}{\partial x} = yz, \frac{\partial u}{\partial y} = x z, \frac{\partial u}{\partial z} = x y$

在点 $(1, 1, 1)$ ： $\frac{\partial u}{\partial x}_{(1, 1, 1)} = 1, \frac{\partial u}{\partial y}_{(1, 1, 1)} = 1, \frac{\partial u}{\partial z}_{(1, 1, 1)} = 1$

第二步：单位化方向向量

$∣ l ∣ = 1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 9 = 3$

$e_{l} = \frac{1}{3} (1, 2, 2) = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

第三步：计算方向导数

$\frac{\partial u}{\partial l}_{M_{0}} = 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 + 2 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

答案： $\frac{5}{3}$

$□$

2.2 梯度

2.2.1 定义

定义 2.2（梯度）

设函数 $u = u (x, y, z)$ 在点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 具有一阶偏导数，则称向量

$grad u_{M_{0}} = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})_{M_{0}}$

为函数 $u$ 在点 $M_{0}$ 的梯度（gradient）。

记号： $grad u = \nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})$

其中 $\nabla$ （nabla）称为 Hamilton 算子或梯度算子：

$\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) = i \frac{\partial}{\partial x} + j \frac{\partial}{\partial y} + k \frac{\partial}{\partial z}$

2.2.2 梯度的几何与物理意义

定理 2.2（梯度的性质）

方向导数与梯度的关系： $\frac{\partial u}{\partial l} = \nabla u \cdot e_{l} = ∣\nabla u ∣ cos θ$

其中 $θ$ 是 $\nabla u$ 与 $e_{l}$ 的夹角。
最大增长方向：
- 当 $θ = 0$ （即 $e_{l} ∥ \nabla u$ ）时，方向导数达到最大值 $∣\nabla u ∣$
- 梯度方向是函数增长最快的方向
- 梯度的模 $∣\nabla u ∣$ 表示最大变化率
与等值面的关系：
- 梯度垂直于等值面
- 梯度指向函数值增大的方向

几何解释：

考虑标量场 $u (x, y, z) = C$ 的等值面族。在点 $M_{0}$ 处：

等值面的法向量方向是函数值变化最快的方向
这个方向正是梯度 $\nabla u$ 的方向
在等值面内（切平面上）移动，函数值不变，方向导数为零

物理解释：

温度场： $\nabla T$ 指向温度上升最快的方向，热量沿 $- \nabla T$ 方向流动
电势场：电场强度 $E = - \nabla ϕ$ ，电场指向电势降低的方向
高度场： $\nabla h$ 指向最陡上坡方向，水流沿 $- \nabla h$ 方向流动

例题 3（原文例题）

**问题：**求函数 $u = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 在点 $(1, 1, 1)$ 处的梯度，并求出其在该点沿哪个方向方向导数最大？最大值是多少？

解：

计算梯度：

$\nabla u = (2 x, 2 y, 2 z)$

在点 $(1, 1, 1)$ ： $\nabla u_{(1, 1, 1)} = (2, 2, 2)$

最大方向导数方向：

梯度方向，即 $(2, 2, 2)$ 或单位化后 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

最大值：

$∣\nabla u ∣ = 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 12 = 23$

物理意义：

函数 $u = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的等值面是同心球面。在点 $(1, 1, 1)$ 处，梯度指向径向外，沿径向离开原点时， $u$ 增长最快。

$□$

2.2.3 梯度的运算法则

定理 2.3（梯度的运算性质）

设 $u, v$ 是可微函数， $c$ 是常数，则：

线性性： $\nabla (c u + v) = c \nabla u + \nabla v$
乘积法则： $\nabla (uv) = u \nabla v + v \nabla u$
商法则： $\nabla (\frac{u}{v}) = \frac{v \nabla u - u \nabla v}{v ^{2}}$
复合函数：若 $u = f (v)$ ，则： $\nabla u = f^{'} (v) \nabla v$
链式法则：若 $u = f (x, y, z)$ ， $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ ，则： $\frac{d u}{d t} = \nabla u \cdot \frac{d r}{d t}$

例题 4

**问题：**设 $u = \frac{1}{r}$ ，其中 $r = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ，求 $\nabla u$ 。

解：

方法一：直接计算

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}) = - \frac{x}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} = - \frac{x}{r ^{3}}$

类似地： $\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{y}{r ^{3}}, \frac{\partial u}{\partial z} = - \frac{z}{r ^{3}}$

因此： $\nabla u = - \frac{1}{r ^{3}} (x, y, z) = - \frac{r}{r ^{3}}$

方法二：利用链式法则

$u = f (r), f (r) = \frac{1}{r}$

$\nabla u = f^{'} (r) \nabla r = - \frac{1}{r ^{2}} \cdot \frac{r}{r} = - \frac{r}{r ^{3}}$

其中 $\nabla r = \frac{r}{r} = \hat{r}$ （径向单位向量）

物理意义：

这正是点电荷或点质量产生的场的形式：

电场： $E = - \nabla ϕ = \frac{k q}{r ^{2}} \hat{r}$ （ $ϕ = \frac{k q}{r}$ ）
引力场： $g = - \nablaΦ = - \frac{GM}{r ^{2}} \hat{r}$ （ $Φ = - \frac{GM}{r}$ ）

$□$

第三章：散度（Divergence）

3.1 通量的概念

3.1.1 物理背景

通量（flux）是向量场穿过曲面的总量的度量。

定义 3.1（通量）

设 $S$ 是向量场 $F = (P, Q, R)$ 中的定向曲面，则向量场 $F$ 通过曲面 $S$ 的通量定义为：

$Φ = \iint_{S} F \cdot n d S = \iint_{S} P d y d z + Q d z d x + R d x d y$

其中 $n$ 是 $S$ 的单位法向量。

物理意义：

流体力学：流速场 $v$ 通过曲面 $S$ 的通量表示单位时间内穿过 $S$ 的流体体积
电磁学：电场 $E$ 通过曲面 $S$ 的通量（电通量）
热传导：热流密度 $q$ 通过曲面 $S$ 的通量表示热流量

3.2 散度的定义

3.2.1 直观引入

考虑点 $M_{0}$ 处的一个小闭合曲面 $S_{ε}$ ，体积为 $V_{ε}$ 。向量场 $F$ 通过 $S_{ε}$ 的通量为：

$Φ_{ε} = \iint_{S_{ε}} F \cdot n d S$

单位体积的通量： $\frac{Φ _{ε}}{V _{ε}}$

当 $V_{ε} \to 0$ 时，这个比值的极限反映了点 $M_{0}$ 处向量场的"发散程度"。

定义 3.2（散度）

设向量场 $F = (P, Q, R)$ 在点 $M_{0}$ 的某邻域内有定义，若极限

$V_{ε} \to 0 lim \frac{1}{V _{ε}} \iint_{S_{ε}} F \cdot n d S$

存在，则称此极限为向量场 $F$ 在点 $M_{0}$ 的散度（divergence），记作：

$div F_{M_{0}} = \nabla \cdot F_{M_{0}}$

3.2.2 散度的计算公式

定理 3.1（散度的坐标表示）

若向量场 $F = (P, Q, R)$ 的分量函数有一阶连续偏导数，则：

$div F = \nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

记号： $\nabla \cdot F = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (P, Q, R)$

形式上看作 Hamilton 算子 $\nabla$ 与向量 $F$ 的点积。

证明思路：

利用高斯公式： $\iint_{S_{ε}} F \cdot n d S = ∭_{V_{ε}} \nabla \cdot F d V$

应用积分中值定理，存在 $M_{ξ} \in V_{ε}$ ，使得： $∭_{V_{ε}} \nabla \cdot F d V = (\nabla \cdot F) ∣_{M_{ξ}} \cdot V_{ε}$

因此： $\frac{1}{V _{ε}} \iint_{S_{ε}} F \cdot n d S = (\nabla \cdot F) ∣_{M_{ξ}}$

当 $V_{ε} \to 0$ 时， $M_{ξ} \to M_{0}$ ，由散度的连续性： $V_{ε} \to 0 lim \frac{1}{V _{ε}} \iint_{S_{ε}} F \cdot n d S = (\nabla \cdot F) ∣_{M_{0}}$

$□$

3.3 散度的物理意义

3.3.1 源与汇

物理解释：

散度 $\nabla \cdot F$ 表示向量场 $F$ 在某点的"源密度"或"流出强度"：

$\nabla \cdot F > 0$ ：该点是源（source），有净流出
$\nabla \cdot F < 0$ ：该点是汇（sink），有净流入
$\nabla \cdot F = 0$ ：该点无源无汇，流入 = 流出

3.3.2 应用实例

1. 流体力学

连续性方程：

设流体密度为 $ρ$ ，速度场为 $v$ ，则质量守恒要求：

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot (ρ v) = 0$

不可压缩流体（ $ρ =$ 常数）： $\nabla \cdot v = 0$

2. 静电学

高斯定律（微分形式）：

$\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε _{0}}$

其中 $ρ$ 是电荷密度， $ε_{0}$ 是真空介电常数。

**物理意义：**电场的散度等于电荷密度（电荷是电场的"源"）。

3. 热传导

热传导方程：

设温度场为 $T$ ，热流密度为 $q = - k \nabla T$ （傅里叶定律），则：

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \nabla \cdot q = k \nabla^{2} T$

其中 $\nabla^{2} = \nabla \cdot \nabla$ 是拉普拉斯算子。

3.4 散度的运算性质

定理 3.2（散度的运算法则）

设 $F, G$ 是向量场， $ϕ$ 是标量场， $c$ 是常数，则：

线性性： $\nabla \cdot (c F + G) = c (\nabla \cdot F) + \nabla \cdot G$
数乘法则： $\nabla \cdot (ϕ F) = ϕ (\nabla \cdot F) + F \cdot \nabla ϕ$
梯度的散度： $\nabla \cdot (\nabla ϕ) = \nabla^{2} ϕ = \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial z ^{2}}$

（拉普拉斯算子）
旋度的散度恒为零： $\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$

例题 5（原文例题）

**问题：**计算向量场 $F = (x^{2}, y^{2}, z^{2})$ 的散度。

解：

$\nabla \cdot F = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2}) + \frac{\partial}{\partial y} (y^{2}) + \frac{\partial}{\partial z} (z^{2}) = 2 x + 2 y + 2 z$

在点 $(1, 1, 1)$ ： $\nabla \cdot F_{(1, 1, 1)} = 2 + 2 + 2 = 6$

$□$

例题 6

**问题：**证明向量场 $F = \frac{r}{r ^{3}}$ （ $r = (x, y, z)$ ， $r = ∣ r ∣$ ）在 $r \neq = 0$ 处散度为零。

解：

$F = (\frac{x}{r ^{3}}, \frac{y}{r ^{3}}, \frac{z}{r ^{3}})$

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{r ^{3}}) = \frac{1}{r ^{3}} - \frac{3 x ^{2}}{r ^{5}}$

类似地： $\frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{r ^{3}}) = \frac{1}{r ^{3}} - \frac{3 y ^{2}}{r ^{5}}$

$\frac{\partial}{\partial z} (\frac{z}{r ^{3}}) = \frac{1}{r ^{3}} - \frac{3 z ^{2}}{r ^{5}}$

相加： $\nabla \cdot F = \frac{3}{r ^{3}} - \frac{3 ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} )}{r ^{5}} = \frac{3}{r ^{3}} - \frac{3 r ^{2}}{r ^{5}} = 0$

物理意义：

点电荷或点质量产生的场在源点以外处处无散度（无其他源）。但在原点处，散度是 $δ$ 函数（狄拉克函数），表示点源。

$□$

第四章：旋度（Curl）

4.1 环流量的概念

4.1.1 物理背景

环流量（circulation）度量向量场沿闭曲线的"旋转强度"。

定义 4.1（环流量）

设 $L$ 是向量场 $F$ 中的定向闭曲线，则向量场 $F$ 沿 $L$ 的环流量定义为：

$Γ = \oint_{L} F \cdot d r = \oint_{L} P d x + Q d y + R d z$

物理意义：

流体力学：速度场 $v$ 沿闭曲线 $L$ 的环流量表示流体绕 $L$ 的总"旋转"
电磁学：磁场 $B$ 沿闭曲线 $L$ 的环流量与穿过 $L$ 的电流有关（安培定律）

4.2 旋度的定义

4.2.1 直观引入

考虑点 $M_{0}$ 处垂直于方向 $n$ 的小闭曲线 $L_{ε}$ ，所围面积为 $S_{ε}$ 。向量场 $F$ 沿 $L_{ε}$ 的环流量为：

$Γ_{ε} = \oint_{L_{ε}} F \cdot d r$

单位面积的环流量： $\frac{Γ _{ε}}{S _{ε}}$

当 $S_{ε} \to 0$ 时，这个比值的极限反映了点 $M_{0}$ 处向量场绕方向 $n$ 的"旋转强度"。

定义 4.2（旋度）

设向量场 $F = (P, Q, R)$ 在点 $M_{0}$ 的某邻域内有定义，若存在一个向量 $ω$ ，使得对任意单位向量 $n$ ，有：

$S_{ε} \to 0 lim \frac{1}{S _{ε}} \oint_{L_{ε}} F \cdot d r = ω \cdot n$

则称 $ω$ 为向量场 $F$ 在点 $M_{0}$ 的旋度（curl 或 rotation），记作：

$curl F_{M_{0}} = rot F_{M_{0}} = \nabla \times F_{M_{0}}$

4.2.2 旋度的计算公式

定理 4.1（旋度的坐标表示）

若向量场 $F = (P, Q, R)$ 的分量函数有一阶连续偏导数，则：

$$\boxed{\text{curl}, \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{vmatrix}}$$

展开得：

$\nabla \times F = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) i + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) j + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) k$

或分量形式：

$(\nabla \times F)_{x} = \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}$

$(\nabla \times F)_{y} = \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}$

$(\nabla \times F)_{z} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$

记忆技巧：

将 $\nabla \times F$ 形式上看作 Hamilton 算子 $\nabla$ 与向量 $F$ 的叉积（向量积）。

4.3 旋度的物理意义

4.3.1 涡量

物理解释：

旋度 $\nabla \times F$ 表示向量场 $F$ 在某点的"旋转强度"或"涡量"（vorticity）：

$∣\nabla \times F ∣$ ：旋转的强度（角速度的两倍）
$\nabla \times F$ 的方向：旋转轴的方向（右手螺旋）
$\nabla \times F = 0$ ：无旋场（irrotational field）

4.3.2 应用实例

1. 流体力学

涡量： $ω = \nabla \times v$

**物理意义：**涡量是流体微团旋转角速度的两倍

无旋流动： $\nabla \times v = 0$ （势流）

2. 电磁学

法拉第电磁感应定律（微分形式）：

$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$

安培-麦克斯韦定律（微分形式）：

$\nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$

3. 静电场

静电场是保守场： $E = - \nabla ϕ$

因此： $\nabla \times E = \nabla \times (- \nabla ϕ) = 0$

**推论：**任何梯度场都是无旋场。

4.4 旋度的运算性质

定理 4.2（旋度的运算法则）

设 $F, G$ 是向量场， $ϕ$ 是标量场， $c$ 是常数，则：

线性性： $\nabla \times (c F + G) = c (\nabla \times F) + \nabla \times G$
数乘法则： $\nabla \times (ϕ F) = ϕ (\nabla \times F) + (\nabla ϕ) \times F$
梯度的旋度恒为零： $\nabla \times (\nabla ϕ) = 0$
旋度的散度恒为零： $\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$
旋度的旋度： $\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla^{2} F$

其中 $\nabla^{2} F = (\nabla^{2} P, \nabla^{2} Q, \nabla^{2} R)$

例题 7（原文例题）

**问题：**计算向量场 $F = (y, - x, 0)$ 的旋度。

解：

$= i (\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial ( - x )}{\partial z}) - j (\frac{\partial 0}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial z}) + k (\frac{\partial ( - x )}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y})$

$= i (0 - 0) - j (0 - 0) + k (- 1 - 1)$

$= - 2 k = (0, 0, - 2)$

物理意义：

这是绕 $z$ 轴逆时针旋转的速度场（角速度 $ω = 1$ ），旋度为 $- 2 k$ ，指向 $z$ 轴负方向（从俯视角度看，旋度向下表示逆时针旋转）。

$□$

例题 8

**问题：**证明 $\nabla \times (\nabla ϕ) = 0$ 。

证明：

设 $\nabla ϕ = (P, Q, R)$ ，其中： $P = \frac{\partial ϕ}{\partial x}, Q = \frac{\partial ϕ}{\partial y}, R = \frac{\partial ϕ}{\partial z}$

计算旋度的 $x$ 分量： $(\nabla \times \nabla ϕ)_{x} = \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial y \partial z} - \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial z \partial y} = 0$

（由混合偏导数相等）

类似地， $y$ 和 $z$ 分量也为零。

因此 $\nabla \times (\nabla ϕ) = 0$ 。

**物理意义：**梯度场（保守场）必为无旋场。

$□$

第五章：Hamilton 算子 $\nabla$

5.1 Hamilton 算子的定义

定义 5.1（Hamilton 算子）

符号 $\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) = i \frac{\partial}{\partial x} + j \frac{\partial}{\partial y} + k \frac{\partial}{\partial z}$

称为 Hamilton 算子（Hamilton operator）或劈形算子（nabla operator）。

**历史：**由爱尔兰数学家 William Rowan Hamilton（1805-1865）引入， $\nabla$ 的名称"nabla"源于古希腊的一种竖琴。

5.2 $\nabla$ 作用于标量场

5.2.1 梯度

$\nabla ϕ = grad ϕ = (\frac{\partial ϕ}{\partial x}, \frac{\partial ϕ}{\partial y}, \frac{\partial ϕ}{\partial z})$

性质：

输入：标量场 $ϕ$
输出：向量场 $\nabla ϕ$

5.2.2 拉普拉斯算子

$\nabla^{2} ϕ = \nabla \cdot (\nabla ϕ) = \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial z ^{2}}$

记号： $\nabla^{2} = Δ = \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial z ^{2}}$

应用：

拉普拉斯方程： $\nabla^{2} ϕ = 0$ （调和函数）
泊松方程： $\nabla^{2} ϕ = f$
热传导方程： $\frac{\partial T}{\partial t} = α \nabla^{2} T$
波动方程： $\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = c^{2} \nabla^{2} u$
薛定谔方程： $i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ + V ψ$

5.3 $\nabla$ 作用于向量场

5.3.1 散度

$\nabla \cdot F = div F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

性质：

输入：向量场 $F$
输出：标量场 $\nabla \cdot F$

5.3.2 旋度

$$\nabla \times \mathbf{F} = \text{curl}, \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{vmatrix}$$

性质：

输入：向量场 $F$
输出：向量场 $\nabla \times F$

5.3.3 向量拉普拉斯

$\nabla^{2} F = (\nabla^{2} P, \nabla^{2} Q, \nabla^{2} R)$

5.4 $\nabla$ 的重要恒等式

5.4.1 基本恒等式

定理 5.1（ $\nabla$ 运算恒等式）

设 $ϕ, ψ$ 是标量场， $F, G$ 是向量场，则：

梯度的旋度： $\nabla \times (\nabla ϕ) = 0$
旋度的散度： $\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$
散度的梯度（不存在）： $\nabla (\nabla \cdot F)$ 没有定义（标量无梯度）

但可以定义： $\nabla (\nabla \cdot F)$ 作为向量
旋度的旋度： $\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla^{2} F$
数乘的梯度： $\nabla (ϕ ψ) = ϕ \nabla ψ + ψ \nabla ϕ$
数乘的散度： $\nabla \cdot (ϕ F) = ϕ (\nabla \cdot F) + F \cdot \nabla ϕ$
数乘的旋度： $\nabla \times (ϕ F) = ϕ (\nabla \times F) + (\nabla ϕ) \times F$
点积的散度： $\nabla \cdot (F \times G) = G \cdot (\nabla \times F) - F \cdot (\nabla \times G)$
叉积的旋度： $\nabla \times (F \times G) = F (\nabla \cdot G) - G (\nabla \cdot F) + (G \cdot \nabla) F - (F \cdot \nabla) G$

5.4.2 推论

推论 5.1

设 $ϕ$ 是调和函数（ $\nabla^{2} ϕ = 0$ ），则：

$\nabla \times (\nabla \times \nabla ϕ) = \nabla (\nabla \cdot \nabla ϕ) - \nabla^{2} (\nabla ϕ) = \nabla (\nabla^{2} ϕ) - \nabla^{2} (\nabla ϕ) = - \nabla (\nabla^{2} ϕ)$

推论 5.2

若 $F = \nabla ϕ$ （保守场），则： $\nabla \times F = \nabla \times (\nabla ϕ) = 0$

推论 5.3

若 $F = \nabla \times G$ （无散场），则： $\nabla \cdot F = \nabla \cdot (\nabla \times G) = 0$

5.5 $\nabla$ 的运算规则总结

运算	输入	输出	记号	名称
$\nabla ϕ$	标量	向量	grad $ϕ$	梯度
$\nabla \cdot F$	向量	标量	div $F$	散度
$\nabla \times F$	向量	向量	curl $F$	旋度
$\nabla^{2} ϕ$	标量	标量	$Δ ϕ$	拉普拉斯
$\nabla^{2} F$	向量	向量	$Δ F$	向量拉普拉斯

第六章：保守场与势函数

6.1 保守场的定义

定义 6.1（保守场）

若向量场 $F$ 可以表示为某个标量场 $ϕ$ 的梯度，即：

$F = \nabla ϕ = - \nabla U$

则称 $F$ 为保守场（conservative field）或有势场， $ϕ$ 称为 $F$ 的势函数（potential function）。

**注：**物理中常用 $F = - \nabla U$ ，其中 $U$ 称为势能。

6.2 保守场的充要条件

定理 6.1（单连通区域中保守场的判别）

设 $Ω \subset R^{3}$ 是单连通区域，向量场 $F = (P, Q, R)$ 在 $Ω$ 内有一阶连续偏导数，则以下条件等价：

(i) $F$ 是保守场，即 $F = \nabla ϕ$

(ii) $F$ 是无旋场，即 $\nabla \times F = 0$

(iii) 对 $Ω$ 内任意闭曲线 $L$ ，有 $\oint_{L} F \cdot d r = 0$

(iv) 在 $Ω$ 内，曲线积分 $\int_{L} F \cdot d r$ 与路径无关

无旋条件（显式）：

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y}, \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial z}$

6.3 势函数的求法

方法一：路径积分法

固定起点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，定义：

$ϕ (x, y, z) = \int_{M_{0}}^{M} F \cdot d r + C$

选择简单路径（如折线）计算。

方法二：不定积分法

从 $P = \frac{\partial ϕ}{\partial x}$ 对 $x$ 积分：

$ϕ = \int P d x + f (y, z)$

利用 $\frac{\partial ϕ}{\partial y} = Q$ 和 $\frac{\partial ϕ}{\partial z} = R$ 确定 $f (y, z)$ 。

方法三：观察法（凑微分）

直接识别 $P d x + Q d y + R d z$ 是某个函数的全微分。

例题 9（原文例题）

**问题：**验证 $F = (2 x y + z^{3}, x^{2}, 3 x z^{2})$ 是保守场，并求势函数。

解：

验证无旋：

$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0 - 0 = 0$

$\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 3 z^{2} - 3 z^{2} = 0$

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 x - 2 x = 0$

所以 $\nabla \times F = 0$ ， $F$ 是保守场。

求势函数：

从 $\frac{\partial ϕ}{\partial x} = 2 x y + z^{3}$ ：

$ϕ = \int (2 x y + z^{3}) d x = x^{2} y + x z^{3} + f (y, z)$

从 $\frac{\partial ϕ}{\partial y} = x^{2}$ ：

$\frac{\partial ϕ}{\partial y} = x^{2} + \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}$

因此 $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ，即 $f = g (z)$ 。

$ϕ = x^{2} y + x z^{3} + g (z)$

从 $\frac{\partial ϕ}{\partial z} = 3 x z^{2}$ ：

$\frac{\partial ϕ}{\partial z} = 3 x z^{2} + g^{'} (z) = 3 x z^{2}$

因此 $g^{'} (z) = 0$ ，即 $g (z) = C$ 。

势函数： $ϕ (x, y, z) = x^{2} y + x z^{3} + C$

$□$

6.4 物理中的保守场

6.4.1 引力场

**万有引力定律：

第六章：保守场与势函数（续）

6.4 物理中的保守场（续）

6.4.1 引力场

万有引力定律：

质量为 $M$ 的质点在原点产生的引力场为：

$F = - \frac{GM m}{r ^{2}} \hat{r} = - \frac{GM m}{r ^{3}} r$

其中 $r = (x, y, z)$ ， $r = ∣ r ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 。

引力势能：

$U (r) = - \frac{GM m}{r}$

验证：

$F = - \nabla U = - \nabla (- \frac{GM m}{r}) = GM m \nabla (\frac{1}{r}) = - \frac{GM m}{r ^{3}} r$

（利用例题 4 的结果）

**物理意义：**引力场是保守场，做功与路径无关，只与起点和终点位置有关。

6.4.2 静电场

库仑定律：

电荷为 $Q$ 的点电荷在原点产生的电场为：

$E = \frac{k Q}{r ^{2}} \hat{r} = \frac{k Q}{r ^{3}} r$

其中 $k = \frac{1}{4 π ε _{0}}$ 。

电势：

$ϕ (r) = \frac{k Q}{r}$

关系：

$E = - \nabla ϕ$

**推论：**静电场是保守场：

$\nabla \times E = \nabla \times (- \nabla ϕ) = 0$

6.4.3 弹性力场

胡克定律：

$F = - k r = (- k x, - k y, - k z)$

弹性势能：

$U = \frac{1}{2} k (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = \frac{1}{2} k r^{2}$

验证：

$F = - \nabla U = - \nabla (\frac{1}{2} k r^{2}) = - k (x, y, z) = - k r$

6.5 非保守场的例子

例 1：摩擦力场

摩擦力 $F_{f}$ 始终与运动方向相反，做功依赖于路径长度，是非保守力。

$W = - \int_{L} ∣ F_{f} ∣ d s = - μ m g \cdot (路径长度)$

沿闭路一周， $W \neq = 0$ 。

例 2：涡旋场

$F = (- y, x, 0)$

旋度：

$\nabla \times F = (0, 0, 2) \neq = 0$

这是有旋场，不是保守场。

环流量：

沿单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ ：

$\oint_{L} F \cdot d r = \oint_{L} (- y d x + x d y) = 2 π \neq = 0$

第七章：不同坐标系下的场论公式

7.1 柱坐标系

7.1.1 坐标变换

柱坐标 $(r, θ, z)$ 与直角坐标 $(x, y, z)$ 的关系：

$⎩ ⎨ ⎧ x = r cos θ y = r sin θ z = z 或 ⎩ ⎨ ⎧ r = x^{2} + y^{2} θ = arctan \frac{y}{x} z = z$

单位向量：

$\hat{e}_{r} = (cos θ, sin θ, 0)$ $\hat{e}_{θ} = (- sin θ, cos θ, 0)$ $\hat{e}_{z} = (0, 0, 1)$

注意： $\hat{e}_{r}$ 和 $\hat{e}_{θ}$ 随位置变化！

7.1.2 梯度

$\nabla ϕ = \frac{\partial ϕ}{\partial r} \hat{e}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial θ} \hat{e}_{θ} + \frac{\partial ϕ}{\partial z} \hat{e}_{z}$

7.1.3 散度

设 $F = F_{r} \hat{e}_{r} + F_{θ} \hat{e}_{θ} + F_{z} \hat{e}_{z}$ ，则：

$\nabla \cdot F = \frac{1}{r} \frac{\partial ( r F _{r} )}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial F _{θ}}{\partial θ} + \frac{\partial F _{z}}{\partial z}$

7.1.4 旋度

$\nabla \times F = (\frac{1}{r} \frac{\partial F _{z}}{\partial θ} - \frac{\partial F _{θ}}{\partial z}) \hat{e}_{r} + (\frac{\partial F _{r}}{\partial z} - \frac{\partial F _{z}}{\partial r}) \hat{e}_{θ} + \frac{1}{r} (\frac{\partial ( r F _{θ} )}{\partial r} - \frac{\partial F _{r}}{\partial θ}) \hat{e}_{z}$

7.1.5 拉普拉斯算子

$\nabla^{2} ϕ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial ϕ}{\partial r}) + \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial θ ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial z ^{2}}$

7.2 球坐标系

7.2.1 坐标变换

球坐标 $(r, θ, φ)$ 与直角坐标 $(x, y, z)$ 的关系：

$⎩ ⎨ ⎧ x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ z = r cos φ$

其中：

$r \geq 0$ ：径向距离
$0 \leq θ < 2 π$ ：方位角
$0 \leq φ \leq π$ ：极角（与 $z$ 轴的夹角）

单位向量：

$\hat{e}_{r} = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ)$ $\hat{e}_{θ} = (- sin θ, cos θ, 0)$ $\hat{e}_{φ} = (cos φ cos θ, cos φ sin θ, - sin φ)$

7.2.2 梯度

$\nabla ϕ = \frac{\partial ϕ}{\partial r} \hat{e}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial φ} \hat{e}_{φ} + \frac{1}{r sin φ} \frac{\partial ϕ}{\partial θ} \hat{e}_{θ}$

7.2.3 散度

$\nabla \cdot F = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} F _{r} )}{\partial r} + \frac{1}{r sin φ} \frac{\partial ( sin φ F _{φ} )}{\partial φ} + \frac{1}{r sin φ} \frac{\partial F _{θ}}{\partial θ}$

7.2.4 旋度

$\nabla \times F = \frac{1}{r sin φ} (\frac{\partial ( sin φ F _{θ} )}{\partial φ} - \frac{\partial F _{φ}}{\partial θ}) \hat{e}_{r}$ $+ \frac{1}{r} (\frac{1}{sin φ} \frac{\partial F _{r}}{\partial θ} - \frac{\partial ( r F _{θ} )}{\partial r}) \hat{e}_{φ}$ $+ \frac{1}{r} (\frac{\partial ( r F _{φ} )}{\partial r} - \frac{\partial F _{r}}{\partial φ}) \hat{e}_{θ}$

7.2.5 拉普拉斯算子

$\nabla^{2} ϕ = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial ϕ}{\partial r}) + \frac{1}{r ^{2} sin φ} \frac{\partial}{\partial φ} (sin φ \frac{\partial ϕ}{\partial φ}) + \frac{1}{r ^{2} sin ^{2} φ} \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial θ ^{2}}$

例题 10

**问题：**在球坐标下，验证 $ϕ = \frac{1}{r}$ 满足拉普拉斯方程 $\nabla^{2} ϕ = 0$ （ $r \neq = 0$ ）。

解：

$ϕ = \frac{1}{r}$

$\frac{\partial ϕ}{\partial r} = - \frac{1}{r ^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial ϕ}{\partial r}) = \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \cdot (- \frac{1}{r ^{2}})) = \frac{\partial}{\partial r} (- 1) = 0$

由于 $ϕ$ 不依赖于 $θ$ 和 $φ$ ：

$\nabla^{2} ϕ = \frac{1}{r ^{2}} \cdot 0 = 0$

因此 $ϕ = \frac{1}{r}$ 是调和函数（ $r \neq = 0$ ）。

**注：**在 $r = 0$ 处， $\nabla^{2} ϕ = - 4 π δ (r)$ （狄拉克 $δ$ 函数）。

$□$

第八章：积分定理与场论的关系

8.1 高斯公式（散度定理）

定理 8.1（高斯公式）

设 $V$ 是由分片光滑闭曲面 $S$ 围成的空间区域，向量场 $F$ 在 $V$ 上有连续一阶偏导数，则：

$∭_{V} \nabla \cdot F d V = \iint_{S} F \cdot n d S$

其中 $n$ 是 $S$ 的外法向量。

微分形式：

$∭_{V} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) d V = \iint_{S} P d y d z + Q d z d x + R d x d y$

物理意义：

区域内的总源强度（散度积分）= 穿过边界的总通量

推论：散度的物理意义验证

对于小区域 $V_{ε}$ ：

$\iint_{S_{ε}} F \cdot n d S = ∭_{V_{ε}} \nabla \cdot F d V \approx (\nabla \cdot F) ∣_{M_{0}} \cdot V_{ε}$

因此：

$\nabla \cdot F_{M_{0}} \approx \frac{1}{V _{ε}} \iint_{S_{ε}} F \cdot n d S$

这正是散度的定义。

8.2 斯托克斯公式（旋度定理）

定理 8.2（斯托克斯公式）

设 $S$ 是光滑曲面，其边界 $\partial S = L$ 是按段光滑的连续曲线，向量场 $F$ 在 $S$ （含 $L$ ）上有连续一阶偏导数，则：

$\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S = \oint_{L} F \cdot d r$

其中 $n$ 的方向与 $L$ 的方向按右手法则确定。

微分形式：

$\iint_{S} (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) d y d z + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) d z d x + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = \oint_{L} P d x + Q d y + R d z$

物理意义：

穿过曲面的总涡通量（旋度通量）= 沿边界的环流量

推论：旋度的物理意义验证

对于小曲面 $S_{ε}$ ，面积为 $A_{ε}$ ：

$\oint_{L_{ε}} F \cdot d r = \iint_{S_{ε}} (\nabla \times F) \cdot n d S \approx [(\nabla \times F) \cdot n] ∣_{M_{0}} \cdot A_{ε}$

因此：

$(\nabla \times F) \cdot n_{M_{0}} \approx \frac{1}{A _{ε}} \oint_{L_{ε}} F \cdot d r$

这正是旋度在法向 $n$ 上的投影。

8.3 格林公式（平面情形）

定理 8.3（格林公式）

设 $D$ 是平面区域，其边界 $L$ 为按段光滑的闭曲线， $P, Q$ 在 $D$ 上有连续一阶偏导数，则：

$\iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = \oint_{L} P d x + Q d y$

其中 $L$ 取逆时针方向。

与斯托克斯公式的关系：

格林公式是斯托克斯公式在平面 $z = 0$ 的特例。设 $F = (P, Q, 0)$ ，则：

$\nabla \times F = (0, 0, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})$

$\iint_{D} (\nabla \times F) \cdot k d A = \oint_{L} F \cdot d r$

8.4 三大积分定理的统一

定理	维度	关系	公式
牛顿-莱布尼茨	1D → 0D	区间 → 端点	$\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)$
格林公式	2D → 1D	区域 → 边界	$\iint_{D} (\nabla \times F)_{z} d A = \oint_{L} F \cdot d r$
斯托克斯公式	2D → 1D	曲面 → 边界	$\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S = \oint_{L} F \cdot d r$
高斯公式	3D → 2D	体积 → 表面	$∭_{V} \nabla \cdot F d V = \iint_{S} F \cdot n d S$

广义斯托克斯定理（微分形式版本）：

$\int_{\partial Ω} ω = \int_{Ω} d ω$

其中 $ω$ 是微分形式， $d$ 是外微分算子， $\partial Ω$ 是 $Ω$ 的边界。

第九章：Helmholtz 分解定理

9.1 定理陈述

定理 9.1（Helmholtz 分解定理）

设 $F$ 是定义在全空间 $R^{3}$ 上的充分光滑的向量场，且在无穷远处充分快地趋于零，则 $F$ 可以唯一分解为：

$F = \nabla ϕ + \nabla \times A$

其中：

$ϕ$ ：标量势（scalar potential）
$A$ ：向量势（vector potential）

术语：

$\nabla ϕ$ ：无旋部分（irrotational part）
$\nabla \times A$ ：无散部分（solenoidal part）

9.2 构造方法

标量势：

$ϕ (r) = - \frac{1}{4 π} ∭_{V} \frac{\nabla ^{'} \cdot F ( r ^{'} )}{∣ r - r ^{'} ∣} d V^{'}$

向量势：

$A (r) = \frac{1}{4 π} ∭_{V} \frac{\nabla ^{'} \times F ( r ^{'} )}{∣ r - r ^{'} ∣} d V^{'}$

9.3 物理应用

9.3.1 电磁场

Maxwell 方程组：

$\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε _{0}}, \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$

$\nabla \cdot B = 0, \nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$

势的引入：

由 $\nabla \cdot B = 0$ ，引入向量势 $A$ ：

$B = \nabla \times A$

由 $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ ：

$\nabla \times (E + \frac{\partial A}{\partial t}) = 0$

因此引入标量势 $ϕ$ ：

$E + \frac{\partial A}{\partial t} = - \nabla ϕ$

即：

$E = - \nabla ϕ - \frac{\partial A}{\partial t}$

9.3.2 流体力学

速度场分解：

$v = \nablaΦ + \nabla \times Ψ$

其中：

$Φ$ ：速度势（velocity potential）
$Ψ$ ：流函数（stream function）

无旋流动（势流）： $\nabla \times v = 0$ ，则 $v = \nablaΦ$

不可压缩流动： $\nabla \cdot v = 0$ ，则 $\nabla^{2} Φ = 0$ （拉普拉斯方程）

第十章：经典场论问题

10.1 泊松方程与格林函数

10.1.1 泊松方程

方程：

$\nabla^{2} ϕ = f (r)$

特殊情形：

$f = 0$ ：拉普拉斯方程 $\nabla^{2} ϕ = 0$
$f = - ρ / ε_{0}$ ：静电势的泊松方程
$f = - 4 π Gρ$ ：引力势的泊松方程

10.1.2 格林函数

**定义：**格林函数 $G (r, r^{'})$ 满足：

$\nabla^{2} G (r, r^{'}) = δ (r - r^{'})$

加上适当的边界条件。

无界空间的格林函数：

$G (r, r^{'}) = - \frac{1}{4 π ∣ r - r ^{'} ∣}$

泊松方程的解：

$ϕ (r) = ∭_{V} G (r, r^{'}) f (r^{'}) d V^{'}$

10.2 调和函数的性质

定义 10.1（调和函数）

满足拉普拉斯方程 $\nabla^{2} ϕ = 0$ 的函数称为调和函数（harmonic function）。

定理 10.1（平均值定理）

若 $ϕ$ 在球 $B_{R} (r_{0})$ 内调和，则：

$ϕ (r_{0}) = \frac{1}{4 π R ^{2}} \iint_{∣ r - r_{0} ∣ = R} ϕ (r) d S$

即中心点的值等于球面上的平均值。

定理 10.2（最大值原理）

调和函数在有界区域内部不能取到最大值或最小值（除非为常数）。

**推论：**调和函数的极值必在边界上取得。

定理 10.3（唯一性）

Dirichlet 问题（给定边界值的拉普拉斯方程）的解唯一。

10.3 位势理论

10.3.1 牛顿位势

定义：

$U (r) = ∭_{V} \frac{ρ ( r ^{'} )}{∣ r - r ^{'} ∣} d V^{'}$

性质：

$\nabla^{2} U = - 4 π ρ$

特殊情况：

点质量： $ρ = M δ (r)$ ，则 $U = \frac{M}{r}$
球对称分布： $U (r) = {\frac{M}{r} \frac{M}{2 R ^{3}} (3 R^{2} - r^{2}) r > R r \leq R$ 其中 $M$ 是总质量， $R$ 是球半径。

10.3.2 对数位势（二维）

定义：

$ϕ (r) = \iint_{D} σ (r^{'}) ln ∣ r - r^{'} ∣ d A^{'}$

性质：

$\nabla^{2} ϕ = - 2 πσ$

第十一章：综合例题精讲

11.1 梯度与方向导数

例题 11

**问题：**设温度场为 $T (x, y, z) = 100 - x^{2} - y^{2} - z^{2}$ ，求：

点 $(3, 4, 0)$ 处温度变化最快的方向
该方向上的变化率

解：

1. 最快变化方向 = 梯度方向

$\nabla T = (- 2 x, - 2 y, - 2 z)$

在 $(3, 4, 0)$ ：

$\nabla T_{(3, 4, 0)} = (- 6, - 8, 0)$

单位化：

$e = \frac{( - 6 , - 8 , 0 )}{36 + 64} = \frac{( - 6 , - 8 , 0 )}{10} = (- 0.6, - 0.8, 0)$

2. 最大变化率

$∣\nabla T ∣ = 10$

物理意义：

温度在点 $(3, 4, 0)$ 沿方向 $(- 0.6, - 0.8, 0)$ 下降最快
下降率为 $10$ °C/单位长度
这个方向指向原点（温度最高点）

$□$

11.2 散度与通量

例题 12

**问题：**计算向量场 $F = (x^{3}, y^{3}, z^{3})$ 通过单位球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 的通量。

解：

方法一：直接计算曲面积分（困难）

方法二：使用高斯公式

$div F = \frac{\partial}{\partial x} (x^{3}) + \frac{\partial}{\partial y} (y^{3}) + \frac{\partial}{\partial z} (z^{3}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2}$

应用高斯公式：

$Φ = \iint_{S} F \cdot n d S = ∭_{V} 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d V$

使用球坐标： $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$

$Φ = 3 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r^{2} sin φ d r d φ d θ$

$= 3 \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π} sin φ d φ \int_{0}^{1} r^{4} d r$

$$= 3 \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5}

第十一章：综合例题精讲（续）

11.2 散度与通量（续）

$$= 3 \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{12\pi}{5}$$

答案：$\frac{12\pi}{5}$

**优势：**使用高斯公式将复杂的曲面积分转化为简单的三重积分，大大简化了计算。

$\square$

11.3 旋度与环流

例题 13

**问题：**计算向量场 $\mathbf{F} = (y - z, z - x, x - y)$ 沿圆周 $L: x^2 + y^2 = 1, z = 0$（逆时针）的环流量。

解：

方法一：直接计算曲线积分

参数化：$x = \cos t, y = \sin t, z = 0$，$0 \leq t \leq 2\pi$

$$\mathbf{F}|_L = (\sin t, -\cos t, \cos t - \sin t)d\mathbf{r} = (-\sin t, \cos t, 0) , dt\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = (\sin t)(-\sin t) + (-\cos t)(\cos t) = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1\Gamma = \oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} (-1) , dt = -2\pi$$

方法二：使用斯托克斯公式

取曲面 $S$ 为圆盘 $x^2 + y^2 \leq 1, z = 0$，法向量 $\mathbf{n} = (0, 0, 1)$（上侧）。

计算旋度：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ y - z & z - x & x - y \end{vmatrix}= \mathbf{i}\left[\frac{\partial(x-y)}{\partial y} - \frac{\partial(z-x)}{\partial z}\right] - \mathbf{j}\left[\frac{\partial(x-y)}{\partial x} - \frac{\partial(y-z)}{\partial z}\right] + \mathbf{k}\left[\frac{\partial(z-x)}{\partial x} - \frac{\partial(y-z)}{\partial y}\right]= \mathbf{i}(-1 - 1) - \mathbf{j}(1 - (-1)) + \mathbf{k}(-1 - 1)= (-2, -2, -2) $应用斯托克斯公式：$ \Gamma = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} , dS = \iint_S (-2, -2, -2) \cdot (0, 0, 1) , dS= \iint_S (-2) , dS = -2 \cdot \pi \cdot 1^2 = -2\pi$$

答案：$-2\pi$

**验证：**两种方法结果一致！✓

$\square$

11.4 保守场判断与势函数

例题 14

**问题：**判断向量场 $\mathbf{F} = (yz, xz, xy)$ 是否为保守场，若是，求势函数。

解：

第一步：检验无旋条件

$$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = x - x = 0\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = y - y = 0\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = z - z = 0$$

因此 $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$，$\mathbf{F}$ 是保守场。

第二步：求势函数

设 $\phi$ 满足 $\nabla \phi = \mathbf{F}$，即：

$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = yz, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y} = xz, \quad \frac{\partial \phi}{\partial z} = xy$$

从第一式对 $x$ 积分：

$$\phi = \int yz , dx = xyz + f(y, z)$$

对 $y$ 求偏导：

$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = xz + \frac{\partial f}{\partial y} = xz$$

因此 $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$，即 $f = g(z)$。

$$\phi = xyz + g(z)$$

对 $z$ 求偏导：

$$\frac{\partial \phi}{\partial z} = xy + g'(z) = xy$$

因此 $g'(z) = 0$，即 $g(z) = C$。

势函数：

$$\phi(x, y, z) = xyz + C $* * 验证： * *$ \nabla \phi = (yz, xz, xy) = \mathbf{F} \quad \checkmark$$

$\square$

11.5 拉普拉斯方程

例题 15

**问题：**证明函数 $u(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ 在原点以外满足拉普拉斯方程 $\nabla^2 u = 0$。

证明：

设 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，则 $u = \frac{1}{r}$。

方法一：直角坐标

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{x}{r^3}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{x}{r^3}\right) = -\frac{1}{r^3} + \frac{3x^2}{r^5} $类似地：$ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3y^2}{r^5}\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3z^2}{r^5} $相加：$ \nabla^2 u = -\frac{3}{r^3} + \frac{3(x^2 + y^2 + z^2)}{r^5} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3r^2}{r^5} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3}{r^3} = 0$$

方法二：球坐标

在球坐标中，对于只依赖于 $r$ 的函数：

$$\nabla^2 u = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{du}{dr}\right)u = \frac{1}{r}, \quad \frac{du}{dr} = -\frac{1}{r^2}r^2 \frac{du}{dr} = r^2 \cdot \left(-\frac{1}{r^2}\right) = -1\frac{d}{dr}(-1) = 0$$

因此 $\nabla^2 u = 0$。

**注：**在原点 $r = 0$ 处，$\nabla^2 u = -4\pi \delta(\mathbf{r})$（广义函数意义下）。

$\square$

11.6 场的分解

例题 16

**问题：**将向量场 $\mathbf{F} = (x + y, y + z, z + x)$ 分解为无旋部分和无散部分。

解：

根据 Helmholtz 分解定理：$\mathbf{F} = \nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}$

计算散度：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x + y) + \frac{\partial}{\partial y}(y + z) + \frac{\partial}{\partial z}(z + x) = 1 + 1 + 1 = 3 $* * 计算旋度： * *$ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ x + y & y + z & z + x \end{vmatrix}= \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(1 - 0) + \mathbf{k}(0 - 1) = (-1, -1, -1)$$

无旋部分（纵向分量）：

寻找 $\phi$ 使得 $\nabla^2 \phi = \nabla \cdot \mathbf{F} = 3$

最简单的选择：$\phi = \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + z^2)$

验证：$\nabla^2 \phi = 3 + 3 + 3 = 9 \neq 3$（错误）

正确的：$\phi = \frac{3}{2}r^2$ 满足 $\nabla^2 \phi = 3 \cdot 2 = 6 \neq 3$

实际上，$\phi = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)$ 给出 $\nabla^2 \phi = 3$ ✓

$$\nabla \phi = (x, y, z) $- - - * * 无散部分（横向分量）： * *$ \mathbf{F}_{\text{solenoidal}} = \mathbf{F} - \nabla \phi = (x + y, y + z, z + x) - (x, y, z) = (y, z, x) $验证：$ \nabla \cdot (y, z, x) = 0 + 0 + 0 = 0 \quad \checkmark\nabla \times (y, z, x) = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 1) = (-1, 1, -1)$$

**注：**这个场实际上不能完全用简单形式分解，需要更仔细的构造向量势 $\mathbf{A}$。

重新分析：

直接观察：

$$\mathbf{F} = (x + y, y + z, z + x) = (x, y, z) + (y, z, x)$$

$(x, y, z) = \nabla\left(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2}\right)$：无旋部分
$(y, z, x)$：需要找 $\mathbf{A}$ 使得 $\nabla \times \mathbf{A} = (y, z, x)$

尝试 $\mathbf{A} = (0, xz, -xy)$：

$$\nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ 0 & xz & -xy \end{vmatrix}= \mathbf{i}(-x - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(z - 0) = (-x, 0, z) \neq (y, z, x)$$

（此问题较复杂，实际需要解偏微分方程系统）

$\square$

第十二章：物理应用专题

12.1 静电学中的场论

12.1.1 电场与电势

基本关系：

$$\mathbf{E} = -\nabla \phi $* * 高斯定律（积分形式）： * *$ \oiint_S \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} , dS = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} $* * 高斯定律（微分形式）： * *$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

结合 $\mathbf{E} = -\nabla \phi$：

$$\nabla \cdot (-\nabla \phi) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

这是泊松方程。

无电荷区域（$\rho = 0$）：

$$\nabla^2 \phi = 0$$

这是拉普拉斯方程，$\phi$ 是调和函数。

12.1.2 电偶极子

电偶极矩：$\mathbf{p} = q\mathbf{d}$（正电荷到负电荷的向量，乘以电荷量）

电势（远场近似）：

$$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{r^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}}{r^2} $* * 电场： * *$ \mathbf{E} = -\nabla \phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[\frac{3(\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}}{r^3}\right]$$

12.2 磁场与安培定律

12.2.1 毕奥-萨伐尔定律

电流元产生的磁场：

$$d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I , d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3} $* * 总磁场： * *$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint \frac{d\mathbf{l}' \times (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$$

12.2.2 安培定律

积分形式：

$$\oint_L \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} $* * 微分形式（无位移电流）： * *$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} $* * 带位移电流（麦克斯韦修正）： * *$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

12.2.3 磁场的性质

无散性：

$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 $（不存在磁单极子） * * 推论： * * 磁场可以表示为向量势的旋度：$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$$

其中 $\mathbf{A}$ 是向量势（vector potential）。

12.3 流体力学中的场论

12.3.1 连续性方程

质量守恒：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$$

不可压缩流体（$\rho =$ 常数）：

$$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$$

12.3.2 涡量动力学

涡量：$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$

涡量方程（理想流体）：

$$\frac{D\boldsymbol{\omega}}{Dt} = (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla)\mathbf{v}$$

其中 $\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla$ 是物质导数。

12.3.3 势流理论

无旋流动：$\nabla \times \mathbf{v} = \mathbf{0}$

引入速度势 $\Phi$：

$$\mathbf{v} = \nabla \Phi $* * 不可压缩 + 无旋： * *$ \nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \Phi) = \nabla^2 \Phi = 0$$

速度势满足拉普拉斯方程。

12.4 热传导

12.4.1 傅里叶定律

热流密度：

$$\mathbf{q} = -k \nabla T$$

其中 $k$ 是热导率。

**物理意义：**热量从高温流向低温，流速与温度梯度成正比。

12.4.2 热传导方程

能量守恒：

$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{q} $代入傅里叶定律：$ \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\nabla \cdot (-k\nabla T) = k \nabla^2 T\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T$$

其中 $\alpha = \frac{k}{\rho c}$ 是热扩散系数（thermal diffusivity）。

12.4.3 稳态热传导

稳态条件：$\frac{\partial T}{\partial t} = 0$

$$\nabla^2 T = 0$$

温度分布满足拉普拉斯方程，是调和函数。

第十三章：场论与微分形式

13.1 微分形式简介

13.1.1 外代数

0-形式（标量）：$f$

1-形式（余切向量）：$\omega^1 = P , dx + Q , dy + R , dz$

2-形式（面元）：$\omega^2 = A , dy \wedge dz + B , dz \wedge dx + C , dx \wedge dy$

3-形式（体元）：$\omega^3 = F , dx \wedge dy \wedge dz$

外积（wedge product）：

$$dx \wedge dy = -dy \wedge dxdx \wedge dx = 0$$

**性质：**反对称、反交换

13.1.2 外微分算子

定义：$d: \Omega^k \to \Omega^{k+1}$

0-形式的外微分：

$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz $（对应梯度） - - - * * 1 - 形式的外微分： * *$ d(P , dx + Q , dy + R , dz) = dP \wedge dx + dQ \wedge dy + dR \wedge dz $展开：$ = \left(\frac{\partial P}{\partial y} dy + \frac{\partial P}{\partial z} dz\right) \wedge dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} dx + \frac{\partial Q}{\partial z} dz\right) \wedge dy + \left(\frac{\partial R}{\partial x} dx + \frac{\partial R}{\partial y} dy\right) \wedge dz= \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) dy \wedge dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) dz \wedge dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx \wedge dy $（对应旋度） - - - * * 2 - 形式的外微分： * *$ d(A , dy \wedge dz + B , dz \wedge dx + C , dx \wedge dy)= \left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right) dx \wedge dy \wedge dz$$

（对应散度）

13.1.3 基本性质

定理 13.1

$d^2 = 0$：$d(d\omega) = 0$ 对任意 $k$-形式 $\omega$ 成立
Leibniz 法则：$d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta$

其中 $\omega$ 是 $k$-形式

物理对应：

$d^2 = 0$ 对应于：
- $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$（梯度无旋）
- $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$（旋度无散）

13.2 广义斯托克斯定理

定理 13.2（广义斯托克斯定理）

设 $\Omega$ 是 $n$ 维带边流形，$\omega$ 是 $\Omega$ 上的 $(n-1)$-形式，则：

$$\boxed{\int_\Omega d\omega = \int_{\partial \Omega} \omega}$$

其中 $\partial \Omega$ 是 $\Omega$ 的边界，定向由右手法则确定。

特殊情况：

$n$	$\Omega$	定理	形式
1	区间 $[a, b]$	微积分基本定理	$\int_a^b f'(x) , dx = f(b) - f(a)$
2	平面区域 $D$	格林公式	$\iint_D d\omega = \oint_{\partial D} \omega$
2	曲面 $S$	斯托克斯公式	$\iint_S d\omega = \oint_{\partial S} \omega$
3	立体 $V$	高斯公式	$\iiint_V d\omega = \oiint_{\partial V} \omega$

13.3 德拉姆上同调

13.3.1 定义

闭形式（closed form）：$d\omega = 0$

恰当形式（exact form）：$\omega = d\eta$ 对某个 $\eta$

**关系：**恰当 $\Rightarrow$ 闭（因为 $d^2 = 0$）

**反之：**闭 $\not\Rightarrow$ 恰当（在非单连通区域）

德拉姆上同调群：

$$H^k_{dR}(M) = \frac{{\text{闭 } k\text{-形式}}}{{\text{恰当 } k\text{-形式}}} = \frac{\ker d}{\text{im } d}$$

物理意义：$H^k_{dR}(M)$ 测量空间 $M$ 的 "$k$ 维洞"的数量。

13.3.2 例子

1. $\mathbb{R}^3$（单连通）：

$$H^0_{dR}(\mathbb{R}^3) = \mathbb{R}, \quad H^1_{dR}(\mathbb{R}^3) = 0, \quad H^2_{dR}(\mathbb{R}^3) = 0$$

**物理意义：**所有无旋场都是保守场（可表示为梯度）。

2. $\mathbb{R}^3 \setminus {0}$（去掉原点，非单连通）：

$$H^1_{dR}(\mathbb{R}^3 \setminus {0}) \neq 0$$

**物理意义：**存在闭但不恰当的 1-形式，对应于围绕原点有非零环流的无旋场。

例子：$\omega = \frac{-y , dx + x , dy}{x^2 + y^2}$

$d\omega = 0$（闭）
$\oint_C \omega = 2\pi \neq 0$（不恰当）

其中 $C$ 是绕原点一周的闭曲线。

第十四章：高级专题

14.1 Green 恒等式

14.1.1 第一 Green 恒等式

定理 14.1

$$\iiint_V (\phi \nabla^2 \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi) , dV = \oiint_S \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} , dS$$

证明：

考虑向量场 $\mathbf{F} = \phi \nabla \psi$

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = \phi \nabla^2 \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi $应用高斯公式：$ \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} , dV = \oiint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} , dS = \oiint_S \phi \nabla \psi \cdot \mathbf{n} , dS = \oiint_S \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} , dS$$

$\square$

14.1.2 第二 Green 恒等式

定理 14.2

$$\iiint_V (\phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi) , dV = \oiint_S \left(\phi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\right) dS$$

证明：

应用第一 Green 恒等式两次，交换 $\phi$ 和 $\psi$，然后相减。

$\square$

应用：

证明调和函数的唯一性
推导 Green 函数
证明平均值定理

14.2 向量场的分类

14.2.1 Helmholtz 分类

任何充分光滑且在无穷远衰减的向量场 $\mathbf{F}$ 可以唯一分解为：

$$\mathbf{F} = \mathbf{F}_L + \mathbf{F}_T$$

其中：

$\mathbf{F}_L = \nabla \phi$：纵向场（longitudinal field），无旋（$\nabla \times \mathbf{F}_L = \mathbf{0}$）
$\mathbf{F}_T = \nabla \times \mathbf{A}$：横向场（transverse field），无散（$\nabla \cdot \mathbf{F}_T = 0$）

14.2.2 判别方法

场类型	条件	名称	例子
无旋场	$\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$	保守场、有势场	静电场 $\mathbf{E}$
无散

第十四章：高级专题（续）

14.2 向量场的分类（续）

14.2.2 判别方法（续）

场类型	条件	名称	例子
无旋场	$\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$	保守场、有势场	静电场 $\mathbf{E}$
无散场	$\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$	螺线场、管形场	磁场 $\mathbf{B}$
调和场	$\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ 且 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$	无源无旋场	真空中的静电场
拉普拉斯场	$\mathbf{F} = \nabla \phi$，$\nabla^2 \phi = 0$	调和势场	无电荷区域的电场

14.3 Hodge 分解定理

定理 14.3（Hodge 分解定理）

设 $M$ 是紧致定向 Riemannian 流形，则任何光滑微分形式 $\omega$ 可以唯一分解为：

$$\omega = d\alpha + \delta\beta + \gamma$$

其中：

$d\alpha$：恰当部分（exact part）
$\delta\beta$：余恰当部分（coexact part），$\delta$ 是 $d$ 的伴随算子
$\gamma$：调和部分（harmonic part），$d\gamma = 0$ 且 $\delta\gamma = 0$

三维向量场的特殊情况：

$$\mathbf{F} = \nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} + \mathbf{H}$$

其中 $\mathbf{H}$ 是调和向量场（$\nabla \cdot \mathbf{H} = 0$，$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{0}$）。

14.4 张量场论初步

14.4.1 张量的定义

二阶张量：

$$T_{ij}, \quad i, j = 1, 2, 3$$

对称张量：$T_{ij} = T_{ji}$

反对称张量：$T_{ij} = -T_{ji}$

14.4.2 张量的散度

定义：

$$(\nabla \cdot \mathbf{T})i = \sum{j=1}^3 \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j} $* * 应用：应力张量 * *$ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{f}$$

其中 $\boldsymbol{\sigma}$ 是应力张量，$\mathbf{f}$ 是体力密度。

14.4.3 应变张量

位移场：$\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$

应变张量：

$$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) $* * 体积应变： * *$ \theta = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} = \nabla \cdot \mathbf{u}$$

14.5 广义坐标下的场论

14.5.1 度规张量

在广义坐标 $(q^1, q^2, q^3)$ 中，度规张量：

$$g_{ij} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^j}$$

标度因子：$h_i = \sqrt{g_{ii}}$（无求和）

14.5.2 正交曲线坐标

梯度：

$$\nabla \phi = \sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i} \frac{\partial \phi}{\partial q^i} \hat{\mathbf{e}}i $* * 散度： * *$ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \sum{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial q^i}(h_1 h_2 h_3 \frac{F_i}{h_i})$$

（其中 $h_1 h_2 h_3 / h_i$ 表示去掉 $h_i$ 的乘积）

旋度：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \begin{vmatrix} h_1 \hat{\mathbf{e}}_1 & h_2 \hat{\mathbf{e}}_2 & h_3 \hat{\mathbf{e}}3 \ \frac{\partial}{\partial q^1} & \frac{\partial}{\partial q^2} & \frac{\partial}{\partial q^3} \ h_1 F_1 & h_2 F_2 & h_3 F_3 \end{vmatrix} $* * 拉普拉斯算子： * *$ \nabla^2 \phi = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \sum{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\frac{h_1 h_2 h_3}{h_i^2} \frac{\partial \phi}{\partial q^i}\right)$$

14.5.3 常见坐标系的标度因子

柱坐标 $(r, \theta, z)$：

$$h_r = 1, \quad h_\theta = r, \quad h_z = 1$$

球坐标 $(r, \theta, \varphi)$：

$$h_r = 1, \quad h_\theta = r\sin\varphi, \quad h_\varphi = r $* * 椭圆柱坐标： * *$ h_u = h_v = a\sqrt{\sinh^2 u + \sin^2 v}, \quad h_z = 1$$

第十五章：场论在数学物理方程中的应用

15.1 波动方程

15.1.1 标量波动方程

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$$

物理例子：

弦振动：$u(x, t)$ 是位移
声波：$u(\mathbf{r}, t)$ 是压强扰动
电磁波（标量近似）

15.1.2 向量波动方程

$$\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{E} $* * 电磁波方程： * * 在真空中，由 M a x w e ll 方程组导出：$ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = \mathbf{0}\nabla^2 \mathbf{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = \mathbf{0}$$

其中 $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ 是光速。

15.1.3 达朗贝尔算子

定义：

$$\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} $* * 波动方程的紧凑形式： * *$ \Box u = 0$$

15.2 热传导方程

15.2.1 抛物型方程

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$$

性质：

不可逆（时间箭头）
无限传播速度
平滑解（瞬间平滑化初始不连续）

15.2.2 基本解（热核）

三维热核：

$$G(x, y, z, t) = \frac{1}{(4\pi \alpha t)^{3/2}} e^{-\frac{x^2 + y^2 + z^2}{4\alpha t}} $* * 初值问题的解： * *$ u(\mathbf{r}, t) = \iiint_{\mathbb{R}^3} G(\mathbf{r} - \mathbf{r}', t) u_0(\mathbf{r}') , d\mathbf{r}'$$

其中 $u_0(\mathbf{r})$ 是初始温度分布。

15.3 Laplace 方程与调和函数

15.3.1 边值问题类型

1. Dirichlet 问题：

$$\begin{cases} \nabla^2 u = 0 & \text{在 } \Omega \text{ 内} \ u = f & \text{在 } \partial\Omega \text{ 上} \end{cases} $* * 物理意义： * * 给定边界上的温度 / 电势，求内部分布。 - - - * * 2. N e u mann 问题： * *$ \begin{cases} \nabla^2 u = 0 & \text{在 } \Omega \text{ 内} \ \frac{\partial u}{\partial n} = g & \text{在 } \partial\Omega \text{ 上} \end{cases} $* * 物理意义： * * 给定边界上的热流 / 电场，求内部分布。 - - - * * 3. R o bin 问题（混合边界条件）： * *$ \alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = h$$

15.3.2 分离变量法

例：矩形区域上的 Laplace 方程

$$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad 0 < x < a, 0 < y < b $边界条件：$ u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = 0, \quad u(x, b) = f(x)$$

分离变量：$u(x, y) = X(x)Y(y)$

$$\frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y} = 0\frac{X''}{X} = -\lambda, \quad \frac{Y''}{Y} = \lambda $* * 本征值问题： * *$ X'' + \lambda X = 0, \quad X(0) = X(a) = 0$$

本征值：$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2$，$n = 1, 2, 3, \ldots$

本征函数：$X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{a}$

对应的 $Y$：

$$Y_n'' - \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 Y_n = 0Y_n(y) = \sinh\frac{n\pi y}{a}$$

（利用 $Y_n(0) = 0$）

通解：

$$u(x, y) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin\frac{n\pi x}{a} \sinh\frac{n\pi y}{a}$$

利用 $u(x, b) = f(x)$ 确定 $A_n$（Fourier 级数）。

15.4 Helmholtz 方程

15.4.1 方程形式

$$\nabla^2 u + k^2 u = 0$$

其中 $k$ 是波数（wave number）。

**来源：**时谐波动方程的空间部分（$u(\mathbf{r}, t) = \phi(\mathbf{r})e^{-i\omega t}$）

15.4.2 球对称解

设 $u = u(r)$（球对称），则：

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{du}{dr}\right) + k^2 u = 0$$

令 $u = \frac{v(r)}{r}$：

$$v'' + k^2 v = 0v(r) = A\cos(kr) + B\sin(kr) $* * 解： * *$ u(r) = \frac{A\cos(kr) + B\sin(kr)}{r} $或复数形式：$ u(r) = \frac{C e^{ikr} + D e^{-ikr}}{r}$$

**物理意义：**球面波（外传或内收）

15.5 Maxwell 方程组的完整形式

15.5.1 微分形式

$$\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} & \text{（高斯定律）} \ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 & \text{（无磁单极）} \ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} & \text{（法拉第定律）} \ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} & \text{（安培-麦克斯韦定律）} \end{cases}$$

15.5.2 势的表示

引入标量势 $\phi$ 和向量势 $\mathbf{A}$：

$$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $* * 规范自由度： * *$ \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla \chi, \quad \phi' = \phi - \frac{\partial \chi}{\partial t}$$

不改变 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$。

15.5.3 Lorenz 规范

选择：

$$\nabla \cdot \mathbf{A} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0 $* * 结果： * * 势满足非齐次波动方程：$ \Box \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\Box \mathbf{A} = -\mu_0 \mathbf{J}$$

其中 $\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$ 是达朗贝尔算子。

第十六章：计算技巧与实用公式

16.1 常用恒等式汇总

16.1.1 一级运算

$$\nabla(c) = \mathbf{0}\nabla \cdot \mathbf{c} = 0 \quad (\mathbf{c} \text{ 是常向量})\nabla \times \mathbf{c} = \mathbf{0}$$

16.1.2 二级运算

$$\nabla \times (\nabla \phi) = \mathbf{0}\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{F}) - \nabla^2 \mathbf{F}\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla^2 \phi$$

16.1.3 乘积法则

$$\nabla(\phi \psi) = \phi \nabla \psi + \psi \nabla \phi\nabla \cdot (\phi \mathbf{F}) = \phi(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot \nabla \phi\nabla \times (\phi \mathbf{F}) = \phi(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla \phi) \times \mathbf{F}\nabla(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}) = (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G} + (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F} + \mathbf{F} \times (\nabla \times \mathbf{G}) + \mathbf{G} \times (\nabla \times \mathbf{F})\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})\nabla \times (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{F}(\nabla \cdot \mathbf{G}) - \mathbf{G}(\nabla \cdot \mathbf{F}) + (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F} - (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G}$$

16.2 常见函数的场量

16.2.1 径向函数 $f(r)$

其中 $r = |\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，$\hat{\mathbf{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r}$

梯度：

$$\nabla f(r) = f'(r) \hat{\mathbf{r}} $* * 拉普拉斯： * *$ \nabla^2 f(r) = f''(r) + \frac{2}{r}f'(r) = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{df}{dr}\right) $- - - * * 特殊情况： * *$ \nabla\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} = -\frac{\mathbf{r}}{r^3}\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = 0 \quad (r \neq 0)\nabla(r^n) = nr^{n-2}\mathbf{r}\nabla^2(r^n) = n(n+1)r^{n-2}$$

16.2.2 径向向量场

$$\mathbf{F} = f(r)\hat{\mathbf{r}} = \frac{f(r)}{r}\mathbf{r} $* * 散度： * *$ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2 f(r)) = 2f(r) + rf'(r) $* * 旋度： * *$ \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} $（径向场必为无旋场） - - - * * 例子： * *$ \mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{r^3}\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \cdot \frac{1}{r^3}\right) = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{1}{r^2} \cdot \left(-\frac{1}{r^2}\right) \cdot (-1) = 0 \quad (r \neq 0)\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$$

16.3 积分计算技巧

16.3.1 利用对称性

**例：**计算 $\iiint_V x^2 , dV$，其中 $V$ 是单位球。

由对称性：

$$\iiint_V x^2 , dV = \iiint_V y^2 , dV = \iiint_V z^2 , dV $而：$ \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) , dV = \iiint_V r^2 , dV= \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 r^2 \cdot r^2 \sin\varphi , dr d\varphi d\theta = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5} $因此：$ \iiint_V x^2 , dV = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\pi}{5} = \frac{4\pi}{15}$$

16.3.2 利用散度定理简化

**例：**计算 $\oiint_S \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} , dS$，其中 $S$ 是任意闭曲面，包围体积 $V$。

$$\nabla \cdot \mathbf{r} = \nabla \cdot (x, y, z) = 1 + 1 + 1 = 3 $由高斯公式：$ \oiint_S \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} , dS = \iiint_V 3 , dV = 3V$$

**结果：**等于体积的三倍。

16.3.3 利用 Stokes 定理简化

**例：**计算 $\oint_L (y , dx + z , dy + x , dz)$，其中 $L$ 是单位圆 $x^2 + y^2 = 1, z = 0$（逆时针）。

设 $\mathbf{F} = (y, z, x)$

取曲面 $S$ 为圆盘 $x^2 + y^2 \leq 1, z = 0$，$\mathbf{n} = (0, 0, 1)$

$$\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} , dS = \iint_S (-1, -1, -1) \cdot (0, 0, 1) , dS= \iint_S (-1) , dS = -\pi$$

16.4 数值方法简介

16.4.1 有限差分法

梯度的差分近似：

$$\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|{(x_i, y_j, z_k)} \approx \frac{u{i+1,j,k} - u_{i-1,j,k}}{2\Delta x} $* * 拉普拉斯算子的差分近似（五点格式， 2 D ）： * *$ \nabla^2 u\big|{(x_i, y_j)} \approx \frac{u{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j}}{\Delta x^2}$$

16.4.2 有限元法

将区域离散化为有限个单元（三角形、四面体等），在每个单元上用简单函数（多项式）近似解，通过变分原理得到离散方程组。

**优点：**适用于复杂几何形状和边界条件。

16.4.3 谱方法

用正交函数系（Fourier 级数、Legendre 多项式等）展开解，将偏微分方程转化为代数方程。

**优点：**高精度（指数收敛）。

**缺点：**对复杂边界不友好。

第十七章：习题精选与解答

17.1 基础题

习题 1

**问题：**求函数 $f(x, y, z) = x^2y + y^2z + z^2x$ 在点 $(1, 1, 1)$ 处沿方向 $(1, 1, 1)$ 的方向导数。

解答：

$$\nabla f = (2xy + z^2, x^2 + 2yz, y^2 + 2zx)$$

在 $(1, 1, 1)$：

$$\nabla f\big|_{(1,1,1)} = (2 + 1, 1 + 2, 1 + 2) = (3, 3, 3) $方向单位向量：$ \mathbf{e} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) $方向导数：$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}} = \nabla f \cdot \mathbf{e} = (3, 3, 3) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$$

$\square$

习题 2

**问题：**证明向量场 $\mathbf{F} = (2xy + z, x^2 + 2yz, y^2 + x)$ 是保守场，并求势函数。

解答：

检验无旋：

$$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 2y - 2y = 0\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 1 - 1 = 0\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 2x = 0 $是保守场。 * * 求势函数： * *$ \frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xy + z \Rightarrow \phi = x^2y + xz + f(y, z)\frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2 + \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2yz \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 2yz \Rightarrow f = y^2z + g(z)\phi = x^2y + xz + y^2z + g(z)\frac{\partial \phi}{\partial z} = x + y^2 + g'(z) = y^2 + x \Rightarrow g'(z) = 0 \Rightarrow g = C $* * 势函数： * *$ \phi(x, y, z) = x^2y + xz + y^2z + C$$

$\square$

17.2 中等题

习题 3

**问题：**设 $\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{A}$，其中 $\mathbf{A} = (xy^2, 2x^2y, 0)$。求 $\mathbf{F}$ 通过上半球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1, z \geq 0$ 的通量。

解答：

由于 $\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{A}$，有：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$$

设 $S_1$ 是上半球面，$S_2$ 是圆盘 $x^2 + y^2 \leq 1, z = 0$（向下），它们组成闭曲面 $S = S_1 \cup S_2$。

由高斯公式：

$$\oiint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} , dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} , dV = 0 $因此：$ \iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}1 , dS + \iint{S_2} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_2 , dS = 0$$

其中 $\mathbf{n}_1$ 是向外（向上），$\mathbf{n}_2 = (0, 0, -1)$。

$$\iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}1 , dS = -\iint{S_2} \mathbf{F} \cdot (0, 0, -1) , dS = \iint_{S_2} F_z , dS$$

计算 $\mathbf{F}$：

$$\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ xy^2 & 2x^2y & 0 \end{vmatrix}= \mathbf{i}(0 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(4xy - 2xy) = (0, 0, 2xy)$$

在 $S_2$（$z = 0$ 上）：

$$\iint_{S_2} F_z , dS = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} 2xy , dx dy$$

由对称性（积分区域关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，被积函数是奇函数）：

$$\iint_{x^2+y^2 \leq 1} 2xy , dx dy = 0$$

**答案：**通量为 $\boxed{0}$。

$\square$

习题 4

**问题：**证明：若 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{G}$ 都是调和向量场（即 $\nabla^2 \mathbf{F} = \mathbf{0}$，$\nabla^2 \mathbf{G} = \mathbf{0}$），则 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}$ 满足：

$$\nabla^2(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}) = 2[(\nabla \mathbf{F}) : (\nabla \mathbf{G})] + 2\mathbf{F} \cdot \nabla^2 \mathbf{G} + 2\mathbf{G} \cdot \nabla^2 \mathbf{F} $并在调和条件下简化。 * * 解答： * * 利用恒等式：$ \nabla(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}) = (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G} + (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F} + \mathbf{F} \times (\nabla \times \mathbf{G}) + \mathbf{G} \times (\nabla \times \mathbf{F})$$

再取散度，过程较复杂，直接给出结果：

在调和条件 $\nabla^2 \mathbf{F} = \mathbf{0}$，$\nabla^2 \mathbf{G} = \mathbf{0}$ 下：

$$\nabla^2(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}) = 2\sum_{i,j} \frac{\partial F_i}{\partial x_j} \frac{\partial G_i}{\partial x_j}$$

（这是张量缩并 $(\nabla \mathbf{F}) : (\nabla \mathbf{G})$）

$\square$

17.3 挑战题

习题 5

**问题：**设 $u$ 和 $v$ 都满足拉普拉斯方程 $\nabla^2 u = 0$，$\nabla^2 v = 0$。证明：

$$\iiint_V |\nabla u|^2 , dV = \oiint_S u \frac{\partial u}{\partial n} , dS$$

并说明物理意义。

证明：

利用第一 Green 恒等式，取 $\phi = u$，$\psi = u$：

$$\iiint_V (u \nabla^2 u + \nabla u \cdot \nabla u) , dV = \oiint_S u \frac{\partial u}{\partial n} , dS$$

由于 $\nabla^2 u = 0$：

$$\iiint_V |\nabla u|^2 , dV = \oiint_S u \frac{\partial u}{\partial n} , dS$$

物理意义：

左边：$\iiint_V |\nabla u|^2 , dV$ 代表场的"能量"（如静电能量）
右边：边界上的能量流入/流出
恒等式表明：调和函数的内部能量完全由边界条件决定

$\square$

总结与展望

核心知识框架回顾

场论体系
    │
    ├─ 标量场
    │   ├─ 梯度 ∇φ：方向导数、等值面
    │   └─ 拉普拉斯算子 ∇²φ：调和函数
    │
    ├─ 向量场
    │   ├─ 散度 ∇·F：通量、源
    │   ├─ 旋度 ∇×F：环流、涡
    │   └─ 分类
    │       ├─ 保守场：∇×F = 0，F = ∇φ
    │       ├─ 无散场：∇·F = 0，F = ∇×A
    │       └─ Helmholtz 分解：F = ∇φ + ∇×A
    │
    ├─ Hamilton 算子 ∇
    │   ├─ 作用于标量：∇φ（梯度）
    │   ├─ 点积向量：∇·F（散度）
    │   ├─ 叉积向量：∇×F（旋度）
    │   └─ 重要恒等式
    │
    ├─ 积分定理
    │   ├─ 高斯公式：∭(∇·F)dV = ∬F·ndS
    │   ├─ Stokes 公式：∬(∇×F)·ndS = ∮F·dr
    │   └─ Green 恒等式
    │
    └─ 物理应用
        ├─ 电磁学：Maxwell 方程组
        ├─ 流体力学：Navier-Stokes 方程
        ├─ 热传导：热方程
        └─ 量子力学：薛定谔方程

学习建议

理解物理意义：每个数学概念都有直观的物理图像
掌握计算技巧：熟练运用恒等式和积分定理
重视几何直觉：场线、等值面、通量、环流的几何意义
练习不同坐标系：直角、柱、球坐标的灵活运用
联系实际问题：通过物理应用加深理解

进一步学习方向

微分几何：流形上的微分算子、联络、曲率
微分拓扑：德拉姆上同调、Morse 理论
数学物理方程：偏微分方程理论与方法
张量分析：Einstein 求和约定、协变微分
广义相对论：Riemann 几何、Einstein 场方程
规范场论：Yang-Mills 理论、纤维丛

本讲义完

希望这份完整的场论知识体系能帮助您系统掌握梯度、散度、旋度与 Hamilton 算子的理论与应用！

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