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曲线积分完整知识体系与思维导图

📘 第二十章：曲线积分

一、核心概念架构

1.1 引入背景与动机

从定积分到曲线积分的演进：

传统的定积分研究的是定义在直线段上函数的积分，解决的是一维区间上的累积问题。然而在物理和工程实际中，我们常常需要处理定义在曲线或曲面上的积分问题。例如：

• 计算分布在曲线上物体的质量
• 计算变力沿曲线做的功
• 计算流体沿路径的流量

这些问题促使我们将积分概念从直线段推广到一般曲线，从而产生了曲线积分的概念。

二、第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）

2.1 物理背景：曲线质量问题

问题描述： 设某物体分布在平面或空间的曲线 $L$ 上，其线密度函数为 $f(P)$（连续函数）。如何计算该物体的总质量？

思想方法（微元法）：

1. 分割：将曲线 $L$ 分成 $n$ 个小曲线段 $L_i$（$i=1,2,\dots ,n$）
2. 近似：在每个小段 $L_i$ 上任取一点 $P_i$，该小段的质量近似为 $f(P_i)\Delta s_i$（其中 $\Delta s_i$ 是 $L_i$ 的弧长）
3. 求和：总质量近似值为 ${\sum }_{i=1}^{n}f(P_i)\Delta s_i$
4. 取极限：当分割无限细密时（$\lambda =\max \Delta s_i\to 0$），和式的极限即为精确质量

2.2 严格定义

定义 1（平面曲线情形）

设 $L$ 为平面上可求长度的曲线段，$f(x,y)$ 为定义在 $L$ 上的函数。对曲线 $L$ 作分割 $T$，将其分成 $n$ 个小曲线段 $L_i$（$i=1,2,\dots ,n$），$L_i$ 的弧长记为 $\Delta s_i$，分割 $T$ 的细度为 $\Vert \mathrm{T}\Vert =\max \Delta s_i$。

在 $L_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，若极限

$$\underset{\Vert \mathrm{T}\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i=J$$

存在，且 $J$ 的值与分割 $T$ 和点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 的取法无关，则称此极限为 $f(x,y)$ 在 $L$ 上的第一型曲线积分，记作：

$${\int }_{L}f(x,y)ds$$

定义 2（空间曲线情形）

类似地，若 $L$ 为空间可求长曲线段，$f(x,y,z)$ 为定义在 $L$ 上的函数，则空间第一型曲线积分记作：

$${\int }_{L}f(x,y,z)ds$$

2.3 第一型曲线积分的性质

设以下积分均存在，则有：

性质 1（线性性）

$${\int }_L\sum _{i=1}^k{c}_i{f}_i(x,y)ds=\sum _{i=1}^k{c}_i{\int }_L{f}_i(x,y)ds$$

性质 2（可加性）

若曲线 $L$ 由 $L_1,L_2,\dots ,L_k$ 首尾相接而成，则：

$${\int }_{L}f(x,y)ds=\sum _{i=1}^k{\int }_{L_i}f(x,y)ds$$

性质 3（保序性）

若在 $L$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，则：

$${\int }_{L}f(x,y)ds\le {\int }_{L}g(x,y)ds$$

性质 4（绝对值不等式）

$$\left|{\int }_{L}f(x,y)ds\right|\le {\int }_L|f(x,y)|ds$$

性质 5（积分中值定理）

若 $L$ 的弧长为 $s$，则存在常数 $c$（$\inf f(x,y)\le c\le \sup f(x,y)$），使得：

$${\int }_{L}f(x,y)ds=c\cdot s$$

性质 6（对路径方向无关性）

第一型曲线积分与曲线的方向无关，只与曲线的形状和位置有关。

2.4 几何意义

若 $L$ 为平面 $Oxy$ 上的分段光滑曲线，$f(x,y)\ge 0$ 是定义在 $L$ 上的连续函数，则：

$${\int }_{L}f(x,y)ds$$

表示以 $L$ 为准线、母线平行于 $z$ 轴的柱面，在 $0\le z\le f(x,y)$ 部分的曲面面积（柱面侧面积）。

2.5 计算方法

定理 20.1（参数方程形式）

设光滑曲线 $L$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$$

函数 $f(x,y)$ 在 $L$ 上连续，则：

$$\boxed{{\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t))\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}dt}$$

证明要点：

1. 利用弧长公式：$\Delta s_i={\int }_{t_{i-1}}^{t_i}\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}dt$
2. 应用积分中值定理：$\Delta s_i=\sqrt{{\phi }^{\prime 2}({\tau }_i)+{\psi }^{\prime 2}({\tau }_i)}\Delta t_i$
3. 构造黎曼和并取极限
4. 利用复合函数的连续性和一致连续性证明余项趋于零

计算公式汇总：

2.6 典型例题详解

例 1 设 $L$ 是半圆周 $x=a\cos t,y=a\sin t,t\in [0,\pi ]$，计算 ${\int }_L(x^2+y^2)ds$。

解：

$$\begin{array}{rl}{\int }_L(x^2+y^2)ds& ={\int }_0^{\pi }(a^2{\cos }^{2}t+a^2{\sin }^{2}t)\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+a^2{\cos }^{2}t}dt\\ & ={\int }_0^{\pi }{a}^2\cdot adt\\ & =a^3{\int }_0^{\pi }dt=a^3\pi \end{array}$$

例 2 设 $L$ 是抛物线 $y^2=4x$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(1,2)$ 的一段，计算 ${\int }_{L}yds$。

解法一（参数方程）： 令 $x=t^2/4,y=t,t\in [0,2]$，则：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{L}yds& ={\int }_0^{2}t\sqrt{{\left(\frac{t}{2}\right)}^2+1}dt\\ & ={\int }_0^{2}t\cdot \frac{\sqrt{t^2+4}}{2}dt\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2}t\sqrt{t^2+4}dt\end{array}$$

令 $u=t^2+4$，$du=2tdt$，当 $t=0$ 时 $u=4$，当 $t=2$ 时 $u=8$：

$$=\frac{1}{4}{\int }_4^8\sqrt{u}du=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}{u}^{3/2}{|}_4^8=\frac{1}{6}(16\sqrt{2}-8)=\frac{4}{3}(2\sqrt{2}-1)$$

例 3 计算 ${\int }_L{x}^{2}ds$，其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $x+y+z=0$ 所截得的圆周。

解：

利用对称性，由于 $L$ 关于三个坐标轴具有轮换对称性，故：

$${\int }_L{x}^{2}ds={\int }_L{y}^{2}ds={\int }_L{z}^{2}ds$$

因此：

$${\int }_L{x}^{2}ds=\frac{1}{3}{\int }_L(x^2+y^2+z^2)ds=\frac{1}{3}{\int }_L{a}^{2}ds=\frac{a^2}{3}\cdot s$$

其中 $s$ 为圆周 $L$ 的长度。截面圆的半径为 $r=a\sin (\pi /3)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$（实际上平面 $x+y+z=0$ 过球心，半径为 $r=a\sqrt{2/3}$）。

更准确地，圆的半径 $r=a\sqrt{\frac{2}{3}}$，周长 $s=2\pi a\sqrt{\frac{2}{3}}$，所以：

$${\int }_L{x}^{2}ds=\frac{a^2}{3}\cdot 2\pi a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{2}\pi a^3}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}\pi a^3}{9}$$

例 4 求线密度 $\rho (x,y)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 的曲线段 $y=\ln x,x\in [1,2]$ 对于 $y$ 轴的转动惯量。

解：

转动惯量公式为 $I_y={\int }_L{x}^2\rho (x,y)ds$，其中 $ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx$。

$$\begin{array}{rl}{I}_y& ={\int }_1^2{x}^2\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx\\ & ={\int }_1^2{x}^2\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx\\ & ={\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^2=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\end{array}$$

三、物理应用

3.1 质量计算

平面曲线状物体的质量：

若线密度为 $\rho (x,y)$，则质量为：

$$M={\int }_L\rho (x,y)ds$$

3.2 转动惯量

对 $x$ 轴的转动惯量：

$$I_x={\int }_L{y}^2\rho (x,y)ds$$

对 $y$ 轴的转动惯量：

$$I_y={\int }_L{x}^2\rho (x,y)ds$$

对原点的转动惯量（极转动惯量）：

$$I_O={\int }_L(x^2+y^2)\rho (x,y)ds$$

3.3 质心坐标

$$\bar{x}=\frac{1}{M}{\int }_{L}x\rho (x,y)ds,\bar{y}=\frac{1}{M}{\int }_{L}y\rho (x,y)ds$$

四、思维导图

graph TB
    A[曲线积分] --> B[第一型曲线积分<br/>对弧长的曲线积分]
    A --> C[第二型曲线积分<br/>对坐标的曲线积分]
    
    B --> D[物理背景]
    D --> D1[曲线质量问题]
    D --> D2[微元法思想]
    D2 --> D2a[分割]
    D2 --> D2b[近似]
    D2 --> D2c[求和]
    D2 --> D2d[取极限]
    
    B --> E[定义]
    E --> E1[平面曲线<br/>∫_L f⁡x,y ds]
    E --> E2[空间曲线<br/>∫_L f⁡x,y,z ds]
    
    B --> F[性质]
    F --> F1[线性性]
    F --> F2[可加性]
    F --> F3[保序性]
    F --> F4[绝对值不等式]
    F --> F5[积分中值定理]
    F --> F6[与路径方向无关]
    
    B --> G[几何意义]
    G --> G1[柱面侧面积]
    
    B --> H[计算方法]
    H --> H1[参数方程形式]
    H --> H2[显函数形式 y=φ⁡x]
    H --> H3[反函数形式 x=ψ⁡y]
    H --> H4[空间参数方程]
    
    H1 --> I[核心公式<br/>∫_L f ds = ∫_α^β f⁡φt,ψt√φ'²+ψ'² dt]
    
    B --> J[物理应用]
    J --> J1[质量计算]
    J --> J2[转动惯量]
    J --> J3[质心坐标]
    J --> J4[弧长]
    
    J2 --> J2a[I_x = ∫_L y²ρ ds]
    J2 --> J2b[I_y = ∫_L x²ρ ds]
    J2 --> J2c[I_O = ∫_L⁡x²+y² ρ ds]
    
    B --> K[典型例题]
    K --> K1[参数方程曲线]
    K --> K2[对称性应用]
    K --> K3[物理问题]
    
    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style H fill:#e8f5e9
    style I fill:#ffebee
    style J fill:#f3e5f5

五、概念关系图

graph LR
    A[定积分<br/>直线段上的积分] -->|推广| B[第一型曲线积分<br/>曲线段上的积分]
    
    B --> C[定义方法]
    C --> C1[分割曲线]
    C1 --> C2[近似求和]
    C2 --> C3[取极限]
    
    B --> D[计算转化]
    D --> E[参数化曲线]
    E --> F[化为定积分]
    
    F --> G[关键：ds的表达式]
    G --> G1[平面：ds = √⁡φ'²+ψ'² dt]
    G --> G2[空间：ds = √⁡φ'²+ψ'²+χ'² dt]
    
    B --> H[应用领域]
    H --> H1[几何：弧长、面积]
    H --> H2[力学：质量、转动惯量]
    H --> H3[物理：质心、重心]
    
    style A fill:#bbdefb
    style B fill:#c8e6c9
    style F fill:#ffccbc
    style H fill:#f8bbd0

六、计算流程图

flowchart TD
    Start([给定曲线积分问题]) --> A{曲线方程形式?}
    
    A -->|参数方程<br/>x=φt, y=ψt| B[确定参数范围 α,β]
    A -->|显函数 y=φx| C[确定 x 范围 a,b]
    A -->|反函数 x=ψy| D[确定 y 范围 c,d]
    
    B --> E1[计算 √φ'²t+ψ'²t]
    C --> E2[计算 √1+φ'²x]
    D --> E3[计算 √ψ'²y+1]
    
    E1 --> F1[代入被积函数<br/>f⁡φt,ψt]
    E2 --> F2[代入被积函数<br/>f⁡x,φx]
    E3 --> F3[代入被积函数<br/>f⁡ψy,y]
    
    F1 --> G1[∫_α^β f⁡φt,ψt√φ'²+ψ'² dt]
    F2 --> G2[∫_a^b f⁡x,φx√1+φ'² dx]
    F3 --> G3[∫_c^d f⁡ψy,y√ψ'²+1 dy]
    
    G1 --> H[计算定积分]
    G2 --> H
    G3 --> H
    
    H --> I{能否利用对称性?}
    I -->|是| J[简化计算]
    I -->|否| K[直接积分]
    
    J --> End([得到结果])
    K --> End
    
    style Start fill:#e3f2fd
    style End fill:#c8e6c9
    style H fill:#fff9c4
    style I fill:#ffccbc

七、知识拓展与深化

7.1 第一型曲线积分的本质

第一型曲线积分本质上是对弧长的加权积分，它：

1. 不依赖于曲线的方向（标量性）
2. 只与曲线的几何形状有关
3. 是定积分在曲线上的自然推广

7.2 与其他积分的关系

7.3 计算技巧总结

1. 合理选择参数：优先使用自然参数或简化计算的参数
2. 利用对称性：轮换对称、奇偶对称可大幅简化计算
3. 分段积分：复杂曲线可分段处理后求和
4. 极坐标参数化：对圆、椭圆等曲线特别有效

7.4 常见错误

❌ 错误1：忘记 $ds$ 的表达式，直接把曲线方程代入 ✅ 正确：必须先求出 $ds=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$

❌ 错误2：混淆第一型和第二型曲线积分 ✅ 正确：第一型用 $ds$（标量），第二型用 $dx,dy$（向量）

❌ 错误3：积分限写反 ✅ 正确：第一型曲线积分与方向无关，但定积分限要与参数增减方向一致

八、公式速查表

基本公式

$$\boxed{{\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t))\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}dt}$$

特殊曲线

物理公式

• 质量：$M={\int }_L\rho (x,y)ds$
• 质心：$\bar{x}=\frac{1}{M}{\int }_{L}x\rho ds$，$\bar{y}=\frac{1}{M}{\int }_{L}y\rho ds$
• 转动惯量：$I_x={\int }_L{y}^2\rho ds$，$I_y={\int }_L{x}^2\rho ds$

九、练习建议

基础练习

1. 计算简单参数曲线上的积分
2. 熟练掌握 $ds$ 的各种表达式
3. 练习对称性的应用

提高练习

1. 空间曲线积分
2. 复杂曲线的分段处理
3. 物理应用问题（质量、转动惯量）

综合应用

1. 结合多重积分的混合问题
2. 利用格林公式转化（后续内容）
3. 实际工程问题建模

十、总结

第一型曲线积分是多元函数积分学的重要组成部分，它：

1. 推广了定积分概念，从直线到曲线
2. 具有明确的物理意义，特别在质量、转动惯量计算中
3. 计算方法统一：参数化 → 化为定积分
4. 与路径方向无关，体现标量积分特性

掌握第一型曲线积分，需要：

• 理解微元法思想
• 熟练参数化技巧
• 善用对称性简化
• 明确物理背景

本知识体系涵盖了第一型曲线积分的完整理论框架、计算方法和应用实例，适合作为教材章节、学习笔记或考试复习资料使用。