I'll analyze the uploaded PDF and create a comprehensive knowledge system with mind maps. Let me first examine the content. Based on the PDF content, I'll create a comprehensive knowledge system about Multiple Integrals (重积分) with detailed mind maps and explanations.

完整知识体系：重积分（Multiple Integrals）

📚 第一部分：核心概念架构

🎯 整体知识地图

重积分体系
│
├── 基础理论
│   ├── 平面图形面积理论
│   ├── 二重积分定义
│   └── 可积性条件
│
├── 几何意义
│   ├── 曲顶柱体体积
│   └── 平面区域面积
│
├── 性质体系
│   ├── 线性性质
│   ├── 区域可加性
│   └── 中值定理
│
└── 应用方向
    ├── 体积计算
    ├── 质量与质心
    └── 转动惯量

📖 第二部分：详细知识架构

一、平面图形面积理论（Foundation Theory）

1.1 基本概念体系

graph TD
    A[平面有界图形] --> B[直线网分割]
    B --> C[小矩形分类]
    C --> D[第I类: 内点矩形]
    C --> E[第II类: 外点矩形]
    C --> F[第III类: 边界点矩形]
    D --> G[内面积 I_P内]
    E & F --> H[外面积 I_P外]
    G & H --> I{I_P内 = I_P外 ?}
    I -->|是| J[可求面积]
    I -->|否| K[不可求面积]

1.2 核心定义

定义 1（可求面积）

若平面图形 $P$ 的内面积 $I_{P内}$ 等于其外面积 $I_{P外}$，则称 $P$ 为可求面积，其共同值 $I_P$ 称为 $P$ 的面积。

数学表达：

• 内面积：$I_{P内}=\sup \{s_P(T)\}$（所有内部矩形面积和的上确界）
• 外面积：$I_{P外}=\inf \{S_P(T)\}$（所有覆盖矩形面积和的下确界）
• 关系：$0\le I_{P内}\le I_{P外}\le \Delta$

1.3 可求面积的判定准则

定理 21.1（充要条件I）

定理内容： 平面有界图形 $P$ 可求面积的充要条件是： $$\forall \epsilon >0,\exists \text{直线网 }T,\text{ 使得 }{S}_P(T)-s_P(T)<\epsilon$$

证明思路：

必要性：
    已知 I_P内 = I_P外 = I_P
    ↓
    对任意 ε>0，存在 T₁ 和 T₂ 使得：
    s_P(T₁) > I_P - ε/2
    S_P(T₂) < I_P + ε/2
    ↓
    取 T = T₁ ∪ T₂（合并直线网）
    ↓
    S_P(T) - s_P(T) < ε

充分性：
    已知 S_P(T) - s_P(T) < ε
    ↓
    由于 s_P(T) ≤ I_P内 ≤ I_P外 ≤ S_P(T)
    ↓
    I_P外 - I_P内 ≤ S_P(T) - s_P(T) < ε
    ↓
    由 ε 的任意性得 I_P外 = I_P内

定理 21.2（边界条件）

定理内容： 平面有界图形 $P$ 可求面积 $\iff$ $P$ 的边界 $K$ 的面积为零

深层含义：

• 只有边界"很薄"（零面积）的区域才可求面积
• 边界是否复杂不影响，关键是其不占据面积

定理 21.3（连续函数图像）

定理内容： 若曲线 $K$ 为定义在 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 的图像，则曲线 $K$ 的面积为零

证明核心： 利用一致连续性： $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{ 使得 }|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\epsilon }{b-a}$$

将曲线分段覆盖，总面积 $<\epsilon$

二、二重积分的定义与存在性

2.1 几何背景：曲顶柱体体积问题

问题描述： 设 $f(x,y)$ 为定义在可求面积的有界闭区域 $D$ 上的非负连续函数，求以曲面 $z=f(x,y)$ 为顶，$D$ 为底的柱体体积 $V$。

解决方案（三部曲）：

步骤1：分割（Partition）
    用直线网 T 将区域 D 分成 n 个小区域 σᵢ
    记 Δσᵢ = 小区域面积
    记 dᵢ = 小区域直径
    记 ‖T‖ = max{dᵢ} = 分割细度

步骤2：近似（Approximation）
    在每个 σᵢ 上任取一点 (ξᵢ, ηᵢ)
    用平顶柱体体积近似：ΔVᵢ ≈ f(ξᵢ, ηᵢ)·Δσᵢ
    总体积近似：V ≈ Σf(ξᵢ, ηᵢ)Δσᵢ

步骤3：取极限（Limit）
    当 ‖T‖ → 0 时
    V = lim[‖T‖→0] Σf(ξᵢ, ηᵢ)Δσᵢ

2.2 二重积分的严格定义

定义 2（二重积分） 设 $f(x,y)$ 是定义在可求面积的有界闭区域 $D$ 上的函数。$J$ 是一个确定的数，若对任给的正数 $\epsilon$，总存在某个正数 $\delta$，使对于 $D$ 的任何分割 $T$，当其细度 $\Vert T\Vert <\delta$ 时，属于 $T$ 的所有积分和都有：

$$\left|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i-J\right|<\epsilon$$

则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，数 $J$ 称为函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记作：

$$J={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

符号说明：

• $f(x,y)$ —— 被积函数
• $x,y$ —— 积分变量
• $D$ —— 积分区域
• $d\sigma$ 或 $dxdy$ —— 面积元素

2.3 可积性理论

可积的必要条件

定理： 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有界

可积的充要条件

定理 21.4（上下和准则） $$f(x,y)\text{ 在 }D\text{ 上可积}\iff \underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }S(T)=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }s(T)$$

其中：

• 上和：$S(T)={\sum }_{i=1}^n{M}_i\Delta {\sigma }_i$，$M_i={\sup }_{(x,y)\in {\sigma }_i}f(x,y)$
• 下和：$s(T)={\sum }_{i=1}^n{m}_i\Delta {\sigma }_i$，$m_i={\inf }_{(x,y)\in {\sigma }_i}f(x,y)$

定理 21.5（Darboux 准则） $$f(x,y)\text{ 在 }D\text{ 上可积}\iff \forall \epsilon >0,\exists \text{ 分割 }T,\text{ 使得 }S(T)-s(T)<\epsilon$$

可积的充分条件

定理 21.6（连续函数可积） 有界闭区域 $D$ 上的连续函数必可积

定理 21.7（Lebesgue 定理） 设 $f(x,y)$ 在有界闭域 $D$ 上有界，且其不连续点集 $E$ 是零面积集，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积

意义： 允许函数有"不太多"的间断点

三、二重积分的性质体系

3.1 性质总览图

二重积分性质
│
├── 代数性质
│   ├── 线性性质（性质1-2）
│   └── 绝对值性质（性质5）
│
├── 几何性质
│   ├── 区域可加性（性质3）
│   └── 面积解释（f≡1时）
│
├── 序关系性质
│   ├── 保序性（性质4）
│   └── 估值不等式（性质6）
│
└── 中值性质
    └── 积分中值定理（性质7）

3.2 详细性质列表

性质 1：数乘性质

$${\iint }_{D}kf(x,y)d\sigma =k{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ,k\in \mathbb{R}$$

性质 2：线性性质

$${\iint }_D[f(x,y)\pm g(x,y)]d\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \pm {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$

性质 3：区域可加性

若 $D=D_1\cup D_2$，且 $D_1$ 与 $D_2$ 无公共内点，则： $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma$$

性质 4：保序性（单调性）

若 $f(x,y)\le g(x,y),\forall (x,y)\in D$，则： $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$

性质 5：绝对值不等式

$$\left|{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \right|\le {\iint }_D|f(x,y)|d\sigma$$

性质 6：估值不等式

若 $m\le f(x,y)\le M,\forall (x,y)\in D$，则： $$m\cdot S_D\le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le M\cdot S_D$$

其中 $S_D$ 是积分区域 $D$ 的面积

性质 7：积分中值定理 ⭐

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则存在 $(\xi ,\eta )\in D$，使得： $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot S_D$$

几何意义： 曲顶柱体的体积等于同底平顶柱体的体积，平顶高度为 $f(\xi ,\eta )$

🧠 第三部分：概念关系网络

3.1 核心概念关联图

                    可求面积理论
                         │
                         ↓
            ┌────────────┴────────────┐
            │                         │
      边界零面积                 内外面积相等
            │                         │
            └────────────┬────────────┘
                         │
                         ↓
                  二重积分定义
                         │
            ┌────────────┼────────────┐
            │            │            │
       可积性条件    积分性质    几何意义
            │            │            │
            ↓            ↓            ↓
      连续→可积    中值定理    体积/面积
      有界+零测集                质量/质心

3.2 理论层次结构

Level 1: 面积概念
    → 平面图形的可测性
    → 内面积与外面积
    
Level 2: 积分定义
    → 分割-求和-取极限
    → Riemann 积分思想的推广
    
Level 3: 存在性理论
    → 必要条件：有界性
    → 充分条件：连续性或几乎处处连续
    
Level 4: 性质系统
    → 线性性、区域可加性
    → 不等式性质、中值定理
    
Level 5: 应用拓展
    → 体积、质量、质心
    → 转动惯量、引力计算

📊 第四部分：深度知识拓展

4.1 与单重积分的对比

4.2 重要推论与注记

推论 1（光滑曲线零面积）

参数方程 $x=\phi (t),y=\psi (t),t\in [\alpha ,\beta ]$ 所表示的光滑曲线 $K$ 的面积为零

条件： ${\phi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续且不同时为零

推论 2（闭区域可求面积）

由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的

注记 1（讨论范围约定）

为简单起见，以下讨论的有界闭区域都是指分段光滑曲线所围成的有界闭区域，从而都是可求面积的

注记 2（不可求面积的例子）

并非所有平面点集都可求面积，例如： $$D=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb{Q}\cap [0,1]\}$$ 易知 $I_{内}=0<I_{外}=1$，故 $D$ 不可求面积

🎓 第五部分：学习路径与思维导图

5.1 学习路径建议

Phase 1: 基础理解（1-2周）
    ✓ 理解平面区域的面积概念
    ✓ 掌握可求面积的判定
    ✓ 理解二重积分的定义
    ↓
Phase 2: 理论深化（2-3周）
    ✓ 掌握可积性的充要条件
    ✓ 证明基本定理
    ✓ 理解上和与下和
    ↓
Phase 3: 性质应用（1-2周）
    ✓ 熟练运用积分性质
    ✓ 掌握中值定理
    ✓ 解决估值问题
    ↓
Phase 4: 综合提升（持续）
    ✓ 几何直观理解
    ✓ 物理应用背景
    ✓ 与其他知识联系

5.2 完整思维导图（Markdown版）

# 重积分知识体系思维导图

## 1. 平面图形面积
### 1.1 基本概念
    - 有界图形
    - 直线网分割
    - 内面积 I_内
    - 外面积 I_外
### 1.2 可求面积
    - 定义：I_内 = I_外
    - 判定：S(T) - s(T) < ε
    - 边界条件：边界零面积
### 1.3 重要结论
    - 连续函数图像零面积
    - 光滑曲线零面积
    - 分段光滑曲线围成区域可求面积

## 2. 二重积分定义
### 2.1 背景问题
    - 曲顶柱体体积
    - 非均匀平面质量
### 2.2 定义三要素
    - 分割：直线网 T
    - 求和：Σf(ξᵢ,ηᵢ)Δσᵢ
    - 取极限：‖T‖ → 0
### 2.3 记号
    - ∬_D f(x,y)dσ
    - ∬_D f(x,y)dxdy

## 3. 可积性理论
### 3.1 必要条件
    - 有界性
### 3.2 充要条件
    - 上下和极限相等
    - Darboux 准则
### 3.3 充分条件
    - 连续函数可积
    - Lebesgue 定理

## 4. 积分性质
### 4.1 代数性质
    - 线性性
    - 数乘性
### 4.2 几何性质
    - 区域可加性
    - 面积意义
### 4.3 不等式性质
    - 保序性
    - 绝对值不等式
    - 估值不等式
### 4.4 中值定理
    - 存在性
    - 几何意义

## 5. 应用方向
### 5.1 几何应用
    - 体积计算
    - 面积计算
### 5.2 物理应用
    - 质量
    - 质心
    - 转动惯量

💡 第六部分：关键定理证明思路

定理 21.1 的证明框架

必要性证明：

已知条件：I_内 = I_外 = I
目标：对任意 ε > 0，存在 T 使得 S(T) - s(T) < ε

证明步骤：
1. 由 I_内 定义，存在 T₁ 使得 s(T₁) > I - ε/2
2. 由 I_外 定义，存在 T₂ 使得 S(T₂) < I + ε/2
3. 令 T = T₁ ∪ T₂（合并直线网）
4. 证明：s(T) ≥ s(T₁)，S(T) ≤ S(T₂)
5. 得：S(T) - s(T) < (I + ε/2) - (I - ε/2) = ε

充分性证明：

已知条件：存在 T 使得 S(T) - s(T) < ε
目标：I_外 = I_内

证明步骤：
1. 由定义：s(T) ≤ I_内 ≤ I_外 ≤ S(T)
2. 因此：I_外 - I_内 ≤ S(T) - s(T) < ε
3. 由 ε 的任意性，得 I_外 - I_内 ≤ 0
4. 又显然 I_外 ≥ I_内
5. 故 I_外 = I_内

定理 21.7 的证明要点

设定：

• $f(x,y)$ 在 $D$ 上有界：$|f(x,y)|\le \omega$
• 不连续点集 $E$ 零面积

证明核心：

1. 覆盖不连续点集 E：
   存在有限个小矩形，总面积 < ε
   记其并集为 K

2. 在 D\K 上 f 连续：
   由定理 21.6，f 在 D\K 上可积
   存在分割 T₁ 使得 S(T₁) - s(T₁) < ε

3. 构造 D 的分割：
   T = T₁ ∪ {K∩D}

4. 估计振幅：
   S(T) - s(T) ≤ [S(T₁) - s(T₁)] + ω·(K∩D的面积)
                < ε + ω·ε = (1+ω)ε

5. 由 Darboux 准则得证

🔧 第七部分：习题解析指南

习题 21.1.1 详解

问题： 计算 ${\iint }_{D}xyd\sigma$，其中 $D=[0,1]\times [0,1]$

解法（积分和极限）：

分割：用直线 x = i/n, y = j/n (i,j = 1,2,...,n-1) 分割正方形
小区域：σᵢⱼ = [i/n, (i+1)/n] × [j/n, (j+1)/n]
面积：Δσᵢⱼ = 1/n²
介点选择：取右上顶点 ((i+1)/n, (j+1)/n)

积分和：
Sₙ = Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ Σⱼ₌₀ⁿ⁻¹ [(i+1)/n · (j+1)/n · 1/n²]
   = (1/n⁴) Σᵢ₌₁ⁿ Σⱼ₌₁ⁿ ij
   = (1/n⁴) · [n(n+1)/2]²
   = (n+1)²/(4n²)

取极限：
lim(n→∞) Sₙ = lim(n→∞) (n+1)²/(4n²) = 1/4

答案： ${\iint }_{D}xyd\sigma =\frac{1}{4}$

习题 21.1.4 提示

命题： 若 $f(x,y)\ge 0$ 在 $D$ 上连续且不恒为零，证明 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma >0$

证明思路：

1. 由于 f 不恒为零，存在 (x₀,y₀)∈D 使得 f(x₀,y₀) = c > 0
2. 由连续性，存在 δ > 0，在 U_δ(x₀,y₀)∩D 内，f(x,y) > c/2
3. 设 U_δ(x₀,y₀)∩D 的面积为 S > 0
4. 由性质 6：
   ∬_D f(x,y)dσ ≥ ∬_{U_δ∩D} f(x,y)dσ ≥ (c/2)·S > 0

📚 第八部分：拓展知识与联系

8.1 历史发展脉络

1854 | Riemann 提出 Riemann 积分理论
      → 单变量函数的精确积分定义

1870s | Darboux 引入上和与下和
       → 简化 Riemann 可积性判定

1902 | Lebesgue 创立测度论
      → Lebesgue 积分理论
      → 更广泛的可积函数类

1910s | Fubini 定理
       → 重积分化为累次积分
       → 计算方法的突破

8.2 与其他数学分支的联系

重积分理论
    │
    ├─→ 测度论
    │   └─ 零测集概念
    │      Lebesgue 可积
    │
    ├─→ 微分几何
    │   └─ 曲面面积
    │      体积元素
    │
    ├─→ 偏微分方程
    │   └─ Green 公式
    │      散度定理
    │
    ├─→ 概率论
    │   └─ 联合分布
    │      期望计算
    │
    └─→ 物理学
        └─ 质心、转动惯量
           场论积分

8.3 实际应用场景

应用 1：质心计算

问题： 求平面薄板的质心

设定：

• 区域 $D$，密度函数 $\rho (x,y)$
• 质量：$M={\iint }_D\rho (x,y)d\sigma$

质心坐标： $$\bar{x}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}x\rho (x,y)d\sigma ,\bar{y}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}y\rho (x,y)d\sigma$$

应用 2：转动惯量

对 $x$ 轴的转动惯量： $$I_x={\iint }_D{y}^2\rho (x,y)d\sigma$$

对 $y$ 轴的转动惯量： $$I_y={\iint }_D{x}^2\rho (x,y)d\sigma$$

对原点的转动惯量： $$I_0={\iint }_D(x^2+y^2)\rho (x,y)d\sigma =I_x+I_y$$

🎯 第九部分：核心要点总结

关键概念清单

✅ 平面图形的可求面积 - 内外面积相等
✅ 边界零面积条件 - 可求面积的充要条件
✅ 二重积分定义 - 分割-求和-取极限
✅ 可积的充分条件 - 连续或有界+几乎处处连续
✅ 积分中值定理 - 曲顶柱体与平顶柱体等价

核心不等式

1. 内外面积关系：0 ≤ I_内 ≤ I_外
2. 上下和关系：s(T) ≤ I_内 ≤ I_外 ≤ S(T)
3. 估值不等式：m·S_D ≤ ∬_D f dσ ≤ M·S_D
4. 绝对值不等式：|∬_D f dσ| ≤ ∬_D |f| dσ

常见误区警示

⚠️ 误区 1： 认为所有平面点集都可求面积
✓ 正解： 只有边界零面积的点集才可求面积

⚠️ 误区 2： 认为有界就可积
✓ 正解： 需要有界且不连续点集零面积

⚠️ 误区 3： 混淆上和与积分和
✓ 正解： 上和取上确界，积分和取任意点

📖 第十部分：参考文献与延伸阅读

经典教材

1. 华东师范大学数学系《数学分析》（第四版）
2. Walter Rudin《数学分析原理》
3. Tom M. Apostol《Mathematical Analysis》

进阶主题

• Fubini 定理 - 重积分化为累次积分
• 变量替换 - 极坐标、一般坐标变换
• 曲线积分与曲面积分 - Green公式、Stokes定理
• Lebesgue 积分 - 测度论基础

🗺️ 完整概念关系图（ASCII Art）

                    ┌─────────────────────────┐
                    │   平面图形面积理论      │
                    └───────────┬─────────────┘
                                │
                ┌───────────────┼───────────────┐
                │               │               │
         ┌──────▼──────┐ ┌─────▼─────┐ ┌──────▼──────┐
         │  内面积定义  │ │ 外面积定义 │ │ 可求面积判定 │
         └──────┬──────┘ └─────┬─────┘ └──────┬──────┘
                │               │               │
                └───────────────┼───────────────┘
                                │
                        ┌───────▼────────┐
                        │ 定理21.1-21.3  │
                        │ 充要条件体系   │
                        └───────┬────────┘
                                │
                    ┌───────────▼────────────┐
                    │   二重积分定义         │
                    │ ∬_D f(x,y)dσ = lim Σ  │
                    └───────────┬────────────┘
                                │
                ┌───────────────┼───────────────┐
                │               │               │
         ┌──────▼──────┐ ┌─────▼─────┐ ┌──────▼──────┐
         │  可积性理论  │ │ 积分性质  │ │  几何意义   │
         │ 定理21.4-7  │ │ 性质1-7   │ │ 体积/质量   │
         └─────────────┘ └───────────┘ └─────────────┘

结语

这份知识体系涵盖了二重积分理论的核心内容，从平面图形面积的基础概念出发，逐步建立起严格的积分定义、可积性理论和性质体系。主要特点：

1. 理论严密性 - 完整的定义、定理、证明框架
2. 逻辑连贯性 - 清晰的概念演进路径
3. 几何直观性 - 结合曲顶柱体等几何意义
4. 应用导向性 - 联系物理和工程问题

建议学习者按照"基础→理论→性质→应用"的路径深入学习，注重定理证明的思想方法，培养严谨的数学思维。