第二十三章第三节：反函数定理与隐函数定理完整知识体系

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本节是向量函数微分学的理论巅峰，处理函数可逆性和方程可解性的深刻问题。核心内容包括：反函数定理（保证局部可逆性）、隐函数定理（保证方程可解性）、拉格朗日乘数法（约束优化问题）。这些定理不仅是数学分析的高峰，更是微分几何、拓扑学、偏微分方程、最优化理论的基石。

🎯 第一部分：反函数存在性问题

1.1 问题的提出

1.1.1 反函数的定义

设 $D\subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集，向量函数 $\mathbf{f}:D\to {\mathbb{R}}^n$。

一一映射（单射）：

• 对每个 $\mathbf{x}\in D$，只有唯一 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$ 使得 $\mathbf{y}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$
• 对每个 $\mathbf{y}\in \mathbf{f}(D)$，只有唯一 $\mathbf{x}\in D$ 使得 $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{y}$

反函数：若 $\mathbf{f}$ 是一一映射，则存在反函数 $${\mathbf{f}}^{-1}:\mathbf{f}(D)\to D$$

满足： $$({\mathbf{f}}^{-1}\circ \mathbf{f})(\mathbf{x})=\mathbf{x},\mathbf{x}\in D\text{（恒等式1）}$$ $$(\mathbf{f}\circ {\mathbf{f}}^{-1})(\mathbf{y})=\mathbf{y},\mathbf{y}\in \mathbf{f}(D)\text{（恒等式2）}$$

1.1.2 核心问题

问题1：在什么条件下，函数 $\mathbf{f}$ 局部存在反函数？

问题2：若反函数存在，它是否可微？其导数如何计算？

一元函数的启示：

• 若 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 在 $x_0$ 可微且 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$，则 $f$ 在 $x_0$ 的邻域存在反函数
• 反函数的导数：$(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$，其中 $y_0=f(x_0)$

多元推广的障碍：

• 导数变成矩阵 ${\mathbf{f}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)$
• "非零"条件变成"可逆"条件：$\det {\mathbf{f}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)\ne 0$
• 反函数的导数：$({\mathbf{f}}^{-1}{)}^{\prime }({\mathbf{y}}_0)=[{\mathbf{f}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0){]}^{-1}$

🎯 第二部分：反函数定理

2.1 定理陈述

定理 23.17（反函数定理，Inverse Function Theorem）

设 $D\subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集，函数 $\mathbf{f}:D\to {\mathbb{R}}^n$ 满足：

(i) 在 $D$ 上可微，且 ${\mathbf{f}}^{\prime }$ 连续；

(ii) 存在 ${\mathbf{x}}_0\in D$，使得 $\det {\mathbf{f}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)\ne 0$。

结论：存在邻域 $U=U({\mathbf{x}}_0)\subset D$，使得：

1° $\mathbf{f}$ 在 $U$ 上是一一映射，从而存在反函数 $${\mathbf{f}}^{-1}:V\to U$$ 其中 $V=\mathbf{f}(U)$ 是开集。

2° ${\mathbf{f}}^{-1}$ 在 $V$ 上存在连续导数 $({\mathbf{f}}^{-1}{)}^{\prime }$，且 $$({\mathbf{f}}^{-1}{)}^{\prime }(\mathbf{y})=[{\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{x}){]}^{-1},\mathbf{x}={\mathbf{f}}^{-1}(\mathbf{y}),\mathbf{y}\in V$$

2.2 定理的几何直观

关键洞察：

• $\det {\mathbf{f}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)\ne 0$ 意味着在 ${\mathbf{x}}_0$ 处的线性近似可逆
• 连续性保证这个可逆性在小邻域内保持
• 反函数的可微性源于原函数导数的连续性

2.3 证明思路（五步法）

Step 1：坐标平移与标准化

目标：将问题转化为原点附近的标准形式。

设 $\mathbf{T}=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)$，定义 $$\mathbf{F}(\mathbf{x})={\mathbf{T}}^{-1}[\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0+\mathbf{x})-\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)],\mathbf{x}\in W-{\mathbf{x}}_0$$

其中 $W$ 是 ${\mathbf{x}}_0$ 的某邻域，$\mathbf{T}={\mathbf{f}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)$。

性质：

• $\mathbf{F}(0)=0$
• ${\mathbf{F}}^{\prime }(0)=I$（单位矩阵）
• $\mathbf{F}$ 在 $W_1=W-{\mathbf{x}}_0$ 上可微，${\mathbf{F}}^{\prime }$ 连续
• 对所有 $\mathbf{x}\in W_1$，$\det {\mathbf{F}}^{\prime }(\mathbf{x})\ne 0$

Step 2：证明 $\mathbf{F}$ 在某邻域是一一映射

构造辅助函数： $$\mathbf{\rho }(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\mathbf{F}(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in W_1$$

关键性质：${\mathbf{\rho }}^{\prime }(0)=I-{\mathbf{F}}^{\prime }(0)=0$

压缩性估计：取定 $0<\alpha <1$，由 ${\mathbf{\rho }}^{\prime }$ 的连续性，存在以原点为中心的开球 $W_2\subset W_1$，使得对 $\mathbf{x}\in W_2$，有： $$\Vert {\mathbf{\rho }}^{\prime }(\mathbf{x})\Vert <\alpha$$

应用微分中值不等式（定理 23.14）： $$\Vert \mathbf{\rho }({\mathbf{x}}^{\prime \prime })-\mathbf{\rho }({\mathbf{x}}^{\prime })\Vert \le \alpha \Vert {\mathbf{x}}^{\prime \prime }-{\mathbf{x}}^{\prime }\Vert ,{\mathbf{x}}^{\prime },{\mathbf{x}}^{\prime \prime }\in W_2$$

由三角不等式： $$\Vert \mathbf{F}({\mathbf{x}}^{\prime \prime })-\mathbf{F}({\mathbf{x}}^{\prime })\Vert \ge (1-\alpha )\Vert {\mathbf{x}}^{\prime \prime }-{\mathbf{x}}^{\prime }\Vert$$

结论：$\mathbf{F}$ 在 $W_2$ 内是一一映射。

定义反函数 $\mathbf{H}:\mathbf{F}(W_2)\to W_2$， $$\mathbf{H}(\mathbf{F}(\mathbf{x}))=\mathbf{x},\mathbf{x}\in W_2$$

由上式，$\mathbf{H}$ 是连续的（Lipschitz 连续）。

Step 3：证明 $\mathbf{F}(W_2)\supset (1-\alpha )W_2$

目标：证明 $V=(1-\alpha )W_2$ 满足 $V\subset \mathbf{F}(W_2)$，且 $U=\mathbf{H}(V)$ 是开集。

构造不动点迭代：任取 $\mathbf{y}\in (1-\alpha )W_2$，构造序列： $${\mathbf{x}}_0=0,{\mathbf{x}}_{n+1}=\mathbf{y}+\mathbf{\rho }({\mathbf{x}}_n),n\ge 0$$

归纳假设：${\mathbf{x}}_n\in W_2$ 且 $$\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_{n-1}\Vert \le {\alpha }^{n-1}\Vert \mathbf{y}\Vert$$

验证： $$\Vert {\mathbf{x}}_{n+1}-{\mathbf{x}}_n\Vert =\Vert \mathbf{\rho }({\mathbf{x}}_n)-\mathbf{\rho }({\mathbf{x}}_{n-1})\Vert \le \alpha \Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_{n-1}\Vert \le {\alpha }^n\Vert \mathbf{y}\Vert$$

由于 $\alpha <1$，$\{{\mathbf{x}}_n\}$ 是 Cauchy 列，收敛于 $\mathbf{x}\in W_2$。

令 $n\to \infty$： $$\mathbf{x}=\mathbf{y}+\mathbf{\rho }(\mathbf{x})=\mathbf{y}+\mathbf{x}-\mathbf{F}(\mathbf{x})$$

故 $\mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathbf{y}$。

开集性：$V$ 是开集，$\mathbf{F}$ 连续，故 $U={\mathbf{F}}^{-1}(V)$ 是开集。

Step 4：证明 $\mathbf{H}$ 可微且 ${\mathbf{H}}^{\prime }(\mathbf{y})=[{\mathbf{F}}^{\prime }(\mathbf{x}){]}^{-1}$

设 $\mathbf{y}\in V$，$\mathbf{y}+\mathbf{k}\in V$，$\mathbf{x}=\mathbf{H}(\mathbf{y})$，$\mathbf{x}+\mathbf{h}=\mathbf{H}(\mathbf{y}+\mathbf{k})$，$S={\mathbf{F}}^{\prime }(\mathbf{x})$。

由 $\mathbf{F}$ 的可微性： $$\mathbf{k}=\mathbf{F}(\mathbf{x}+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x})=S\mathbf{h}+o(\Vert \mathbf{h}\Vert )$$

因此： $$\mathbf{H}(\mathbf{y}+\mathbf{k})-\mathbf{H}(\mathbf{y})-S^{-1}\mathbf{k}=\mathbf{h}-S^{-1}\mathbf{k}=-S^{-1}[S\mathbf{h}-\mathbf{k}]$$

由 Step 2 的不等式：$(1-\alpha )\Vert \mathbf{h}\Vert \le \Vert \mathbf{k}\Vert$，故： $$\frac{\Vert \mathbf{H}(\mathbf{y}+\mathbf{k})-\mathbf{H}(\mathbf{y})-S^{-1}\mathbf{k}\Vert }{\Vert \mathbf{k}\Vert }\le \frac{\Vert S^{-1}\Vert \cdot o(\Vert \mathbf{h}\Vert )}{(1-\alpha )\Vert \mathbf{h}\Vert }\to 0$$

当 $\mathbf{k}\to 0$ 时（因此 $\mathbf{h}\to 0$）。

结论：${\mathbf{H}}^{\prime }(\mathbf{y})=[{\mathbf{F}}^{\prime }(\mathbf{x}){]}^{-1}$

Step 5：证明 ${\mathbf{H}}^{\prime }$ 连续

关键不等式： $$\Vert {\mathbf{H}}^{\prime }(\mathbf{y}+\mathbf{k})-{\mathbf{H}}^{\prime }(\mathbf{y})\Vert \le 2\Vert [{\mathbf{F}}^{\prime }(\mathbf{x}){]}^{-1}{\Vert }^2\Vert {\mathbf{F}}^{\prime }(\mathbf{x}+\mathbf{h})-{\mathbf{F}}^{\prime }(\mathbf{x})\Vert$$

由 ${\mathbf{F}}^{\prime }$ 的连续性，右边趋于零，故 ${\mathbf{H}}^{\prime }$ 连续。□

2.4 反函数定理的应用实例

例 1：球坐标变换

问题：记 $\mathbf{w}=(x,y,z{)}^T$，$\mathbf{p}=(r,\theta ,\phi {)}^T$，求函数 $$\mathbf{w} = \mathbf{f}(\mathbf{p}) = \begin{pmatrix} r\sin\theta\cos\varphi \\ r\sin\theta\sin\varphi \\ r\cos\theta \end{pmatrix}$$ 的反函数的导数。

解：

Step 1：计算雅可比矩阵 $$\mathbf{f}'(\mathbf{p}) = \begin{pmatrix}\sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{pmatrix} $$

Step 2：计算行列式 $$\det {\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{p})=r^2\sin \theta$$

条件：当 $r^2\sin \theta \ne 0$ 时，反函数存在。

Step 3：应用公式 (3) $$({\mathbf{f}}^{-1}{)}^{\prime }(\mathbf{w})=[{\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{p}){]}^{-1}$$

计算逆矩阵（通过伴随矩阵）： $$[\mathbf{f}'(\mathbf{p})]^{-1} = \frac{1}{r^2\sin\theta}\begin{pmatrix} r\sin\theta\cos\theta\cos\varphi & r\sin\theta\cos\theta\sin\varphi & -r\sin^2\theta \\ r\sin\varphi & -r\cos\varphi & 0 \\ \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta \end{pmatrix}^T $$

Step 4：用 $\mathbf{w}$ 表示（代入 $\mathbf{p}={\mathbf{f}}^{-1}(\mathbf{w})$）

注意到： $$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\sin \theta =\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r},\cos \phi =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

最终结果： $$(\mathbf{f}^{-1})'(\mathbf{w}) = \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & \frac{y}{r} & \frac{z}{r} \ \frac{xy}{r^2\sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{-x^2 + y^2 + z^2}{r^2\sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{-yz}{r^2\sqrt{x^2 + y^2}} \ \frac{-y}{\sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} & 0 \end{pmatrix}$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$x^2+y^2\ne 0$。

🎯 第三部分：隐函数定理

3.1 问题的数学表述

3.1.1 隐函数方程

设 $X\subset {\mathbb{R}}^n$，$Y\subset {\mathbb{R}}^m$，$\Omega =X\times Y\subset {\mathbb{R}}^{n+m}$。

考虑向量函数方程： $$\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y})=0,\mathbf{x}\in X,\mathbf{y}\in Y$$

其中 $\mathbf{F}:\Omega \to {\mathbb{R}}^m$。

隐函数定义：若存在向量函数 $\mathbf{f}:U\to Y$（$U\subset X$），当用 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 替换 $\mathbf{y}$ 时，方程变为恒等式： $$\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x}))=0,\mathbf{x}\in U$$

则称 $\mathbf{f}$ 是由方程确定的隐函数。

3.1.2 偏导数符号

关于 $\mathbf{x}$ 的偏导数（固定 $\mathbf{y}$）： $${\mathbf{F}}_{\mathbf{x}}^{\prime }(\mathbf{x},\mathbf{y})\text{或}{D}_{\mathbf{x}}\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y})(m\times n\text{ 矩阵})$$

关于 $\mathbf{y}$ 的偏导数（固定 $\mathbf{x}$）： $${\mathbf{F}}_{\mathbf{y}}^{\prime }(\mathbf{x},\mathbf{y})\text{或}{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y})(m\times m\text{ 矩阵})$$

3.2 隐函数定理

定理 23.18（隐函数定理，Implicit Function Theorem）

设 $X\subset {\mathbb{R}}^n$，$Y\subset {\mathbb{R}}^m$ 都是开集，$\Omega =X\times Y\subset {\mathbb{R}}^{n+m}$（亦为开集），$\mathbf{F}:\Omega \to {\mathbb{R}}^m$。

若 $\mathbf{F}$ 满足：

(i) 存在 ${\mathbf{x}}_0\in X$，${\mathbf{y}}_0\in Y$，使得 $\mathbf{F}({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)=0$；

(ii) $\mathbf{F}$ 在 $\Omega$ 上可微，且 ${\mathbf{F}}^{\prime }$ 连续；

(iii) $\det {\mathbf{F}}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)\ne 0$。

结论：存在 ${\mathbf{x}}_0$ 的 $n$ 维邻域 $U=U({\mathbf{x}}_0)\subset X$ 和 ${\mathbf{y}}_0$ 的 $m$ 维邻域 $V=V({\mathbf{y}}_0)\subset Y$，使得在 $({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)$ 的 $n+m$ 维邻域 $W=U\times V\subset \Omega$ 内，方程 $\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y})=0$ 唯一地确定了隐函数 $\mathbf{f}:U\to V$，满足：

1° ${\mathbf{y}}_0=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)$；

2° 当 $\mathbf{x}\in U$ 时，$(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x}))\in W$，且有恒等式 $$\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x}))=0$$

3° $\mathbf{f}$ 在 $U$ 内存在连续偏导数 ${\mathbf{f}}^{\prime }$，且 $${\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{x})=-[{\mathbf{F}}_{\mathbf{y}}^{\prime }(\mathbf{x},\mathbf{y}){]}^{-1}{\mathbf{F}}_{\mathbf{x}}^{\prime }(\mathbf{x},\mathbf{y}),(\mathbf{x},\mathbf{y})\in W$$

3.3 证明思路

核心策略：将隐函数定理归约为反函数定理。

Step 1：定义辅助函数 $$\mathbf{G}(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x},\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y}))$$

$\mathbf{G}:\Omega \to {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$。

Step 2：计算 $\mathbf{G}$ 的雅可比矩阵 $$\mathbf{G}'(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \begin{pmatrix} I_n & \mathbf{0} \ \mathbf{F}'{\mathbf{x}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) & \mathbf{F}'{\mathbf{y}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \end{pmatrix} $$

其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。

行列式： $$\det {\mathbf{G}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)=\det {\mathbf{F}}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)\ne 0$$

Step 3：应用反函数定理

存在 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ 中包含 $({\mathbf{x}}_0,0)$ 的开集 $U\times V^{\prime }$ 和包含 $({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)$ 的开集 $U^{\prime }\times V$，使得 $$\mathbf{G}:U^{\prime }\times V\to U\times V^{\prime }$$ 具有可微反函数 $$\mathbf{H}:U\times V^{\prime }\to U^{\prime }\times V$$

Step 4：分析反函数的结构

由 $\mathbf{G}(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x},\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y}))$ 的形式，反函数也具有类似形式： $$\mathbf{H}(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x},\mathbf{k}(\mathbf{x},\mathbf{y}))$$

其中 $\mathbf{k}:U\times V^{\prime }\to V$ 是可微函数。

Step 5：构造隐函数

定义投影 $\pi :{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^m$，$\pi (\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{y}$。

由 $\pi \circ \mathbf{G}=\mathbf{F}$，得： $$\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{k}(\mathbf{x},\mathbf{y}))=\mathbf{F}\circ \mathbf{H}(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\pi \circ \mathbf{G})\circ \mathbf{H}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\pi (\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{y}$$

特别地，取 $\mathbf{y}=0$： $$\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{k}(\mathbf{x},0))=0$$

定义隐函数： $$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{k}(\mathbf{x},0),\mathbf{x}\in U$$

验证：

• $\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)=\mathbf{k}({\mathbf{x}}_0,0)={\mathbf{y}}_0$（因为 $\mathbf{G}({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)=({\mathbf{x}}_0,0)$）
• $\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x}))=0$

Step 6：求隐函数的导数

对恒等式 $\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x}))=0$ 关于 $\mathbf{x}$ 求导（链式法则）： $${\mathbf{F}}_{\mathbf{x}}^{\prime }(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x}))+{\mathbf{F}}_{\mathbf{y}}^{\prime }(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x})){\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{x})=0$$

解出： $${\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{x})=-[{\mathbf{F}}_{\mathbf{y}}^{\prime }(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x})){]}^{-1}{\mathbf{F}}_{\mathbf{x}}^{\prime }(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x}))$$

由条件 (ii)，${\mathbf{f}}^{\prime }$ 连续。□

3.4 隐函数定理的矩阵形式

设 $\mathbf{y}=\mathbf{f}(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}),\dots ,f_m(\mathbf{x}){)}^T$，$\mathbf{F}=(F_1,\dots ,F_m{)}^T$。

公式 (18) 的分量形式： $$\frac{\partial f_i}{\partial x_k}=-\sum _{j=1}^m{\left[{{\mathbf{F}}_{\mathbf{y}}^{\prime }}^{-1}\right]}_{ij}\frac{\partial F_j}{\partial x_k},i=1,\dots ,m;k=1,\dots ,n$$ 雅可比形式： $$\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial F_m}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

3.5 应用实例

例 2：雅可比行列式求导

问题：设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^4$，$F,G:\Omega \to \mathbb{R}$。若向量 $\mathbf{H}=(F,G{)}^T$ 在点 $({\mathbf{z}}_0,{\mathbf{w}}_0{)}^T\in \Omega$（其中 ${\mathbf{z}}_0=(x_0,y_0{)}^T$，${\mathbf{w}}_0=(u_0,v_0{)}^T$）的某邻域内满足定理 23.18 的条件，且 $\det {\mathbf{H}}^{\prime }({\mathbf{z}}_0,{\mathbf{w}}_0)\ne 0$，求方程 $$\mathbf{H}(x,y,u,v)=0$$ 确定的隐函数 $\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{z})$ 的导数。

解：

应用公式 (18)： $${\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{z})=-[{\mathbf{H}}_{\mathbf{w}}^{\prime }(\mathbf{z},\mathbf{w}){]}^{-1}{\mathbf{H}}_{\mathbf{z}}^{\prime }(\mathbf{z},\mathbf{w})$$

展开： $$\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix}$$

利用矩阵求逆公式： $$\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$$

设 $J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}$（雅可比行列式），则：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\left(\frac{\partial G}{\partial v}\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial v}\frac{\partial G}{\partial x}\right)=\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}$$

类似地： $$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)},\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)},\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}$$

结论：这正是第十八章 §2 公式 (5) 的结果！

🎯 第四部分：拉格朗日乘数法

4.1 约束优化问题

4.1.1 问题表述

设 $D\subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集，$f:D\to \mathbb{R}$，$\mathbf{\phi }:D\to {\mathbb{R}}^m$，$n=m+r$。

记号约定：用行向量 $\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n)=(\mathbf{y},\mathbf{z})$，其中 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^r$，$\mathbf{z}\in {\mathbb{R}}^m$。

约束条件： $$\mathbf{\phi }(\mathbf{x})=\mathbf{\phi }(\mathbf{y},\mathbf{z})=0$$

优化目标：在约束条件下，求 $f(\mathbf{x})=f(\mathbf{y},\mathbf{z})$ 的极值。

4.1.2 拉格朗日函数

$$L(\mathbf{x},\mathbf{\lambda })=L(\mathbf{y},\mathbf{z},\mathbf{\lambda })=f(\mathbf{y},\mathbf{z})+{\mathbf{\lambda }}^T\mathbf{\phi }(\mathbf{y},\mathbf{z})$$

其中 $\mathbf{\lambda }=({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m{)}^T$ 为拉格朗日乘数向量。

4.2 拉格朗日乘数法定理

定理 23.19（拉格朗日乘数法）

设 $D\subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集，$f:D\to \mathbb{R}$，$\mathbf{\phi }:D\to {\mathbb{R}}^m$，$n=m+r$。若满足：

(i) $f$，$\mathbf{\phi }$ 在 $D$ 内有连续导数；

(ii) $\mathbf{\phi }({\mathbf{x}}_0)=\mathbf{\phi }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)=0$；

(iii) $\text{rank}{\mathbf{\phi }}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)=\text{rank}[{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0),{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)]=m$；

(iv) ${\mathbf{x}}_0=({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)$ 是 $f$ 在约束 $\mathbf{\phi }(\mathbf{x})=0$ 下的条件极值点。

结论：存在 ${\mathbf{\lambda }}_0\in {\mathbb{R}}^m$，使得 $({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{\lambda }}_0)$ 是拉格朗日函数 $L$ 的稳定点（驻点），即： $${\nabla }_{\mathbf{x}}L({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{\lambda }}_0)=0$$

等价于： $$\nabla f({\mathbf{x}}_0)+{\mathbf{\lambda }}_0^T\nabla \mathbf{\phi }({\mathbf{x}}_0)=0$$

或分量形式： $$f_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)+{\mathbf{\lambda }}_0^T{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)=0$$ $$f_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)+{\mathbf{\lambda }}_0^T{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)=0$$

4.3 证明

简化假设：不妨设 $\det {\mathbf{\phi }}_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)\ne 0$。

Step 1：应用隐函数定理

由条件 (i)、(ii)、(iii) 和简化假设，满足定理 23.18。故方程 $\mathbf{\phi }(\mathbf{y},\mathbf{z})=0$ 确定了唯一的隐函数 $$\mathbf{z}=\mathbf{g}(\mathbf{y}),(\mathbf{y},\mathbf{z})\in U({\mathbf{y}}_0)\times U({\mathbf{z}}_0)\subset D$$

使得：

• ${\mathbf{z}}_0=\mathbf{g}({\mathbf{y}}_0)$
• $\mathbf{\phi }(\mathbf{y},\mathbf{g}(\mathbf{y}))=0$，$\mathbf{y}\in U({\mathbf{y}}_0)$
• $\mathbf{g}$ 在 $U({\mathbf{y}}_0)$ 存在连续导数

Step 2：对约束方程求导

对 $\mathbf{\phi }(\mathbf{y},\mathbf{g}(\mathbf{y}))=0$ 关于 $\mathbf{y}$ 求导： $${\mathbf{\phi }}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)+{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0){\mathbf{g}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0)=0$$

Step 3：对目标函数求导

由于 $({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)$ 是条件极值点，${\mathbf{y}}_0$ 是 $h(\mathbf{y})=f(\mathbf{y},\mathbf{g}(\mathbf{y}))$ 的无约束极值点。故： $$h^{\prime }({\mathbf{y}}_0)=f_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)+f_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0){\mathbf{g}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0)=0$$

Step 4：构造拉格朗日乘数

取 ${\mathbf{\lambda }}_0\in {\mathbb{R}}^m$ 为下列方程的解： $$f_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)+{\mathbf{\lambda }}_0^T{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)=0$$

由 $\det {\mathbf{\phi }}_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)\ne 0$，解存在。

Step 5：验证稳定点条件

用 ${\mathbf{\lambda }}_0^T$ 乘 Step 2 的方程： $${\mathbf{\lambda }}_0^T{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)+{\mathbf{\lambda }}_0^T{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0){\mathbf{g}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0)=0$$

用 Step 4 代入： $${\mathbf{\lambda }}_0^T{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)-f_{\mathbf{z}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0){\mathbf{g}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0)=0$$

与 Step 3 相加： $$f_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)+{\mathbf{\lambda }}_0^T{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{y}}_0,{\mathbf{z}}_0)=0$$

结合 Step 4，得证。□

4.4 拉格朗日乘数法的使用步骤

实际操作流程：

Step 1：构造拉格朗日函数 $$L(\mathbf{x},\mathbf{\lambda })=f(\mathbf{x})+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{\phi }_i(\mathbf{x})$$

Step 2：求稳定点方程组 $$\{\begin{array}{ll}{\nabla }_{\mathbf{x}}L=\nabla f+{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i\nabla {\phi }_i=0& (n\text{ 个方程})\\ \mathbf{\phi }(\mathbf{x})=0& (m\text{ 个方程})\end{array}$$

共 $n+m$ 个方程，求解 $n+m$ 个未知数 $(\mathbf{x},\mathbf{\lambda })$。

Step 3：判定极值性质（需要二阶条件）

🎯 第五部分：习题与深化

5.1 关键习题

习题 23.3-1

问题：设方程组 $$\{\begin{array}{l}3x+y-z+u^2=0\\ x-y+2z+u=0\\ 2x+2y-3z+2u=0\end{array}$$

证明：除了不能把 $x,y,z$ 用 $u$ 唯一表出外，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表出。

分析：检查雅可比行列式。

设 $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3{)}^T$，计算： $$\frac{\partial(F_1, F_2, F_3)}{\partial(x, y, z)} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \ 1 & -1 & 2 \ 2 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 0$$

故不能用 $u$ 唯一确定 $(x,y,z)$。

但其他情况（如用 $x$ 确定 $(y,z,u)$）的雅可比行列式非零。

习题 23.3-2

问题：应用隐函数求导公式 (18)，求由方程组 $$\{\begin{array}{l}x=u\cos v\\ y=u\sin v\\ z=z(x,y)\end{array}$$ 所确定的隐函数 $z=z(x,y)$ 的所有二阶偏导数。

提示：

1. 先求 $u,v$ 关于 $x,y$ 的一阶偏导数
2. 再对一阶偏导数求导（注意链式法则）

习题 23.3-4

问题：设 $\mathbf{f}(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y{)}^T$。验证 $\mathbf{f}$ 满足反函数定理条件，并求反函数的导数。

解： $$\mathbf{f}'(x, y) = \begin{pmatrix} e^x\cos y & -e^x\sin y \ e^x\sin y & e^x\cos y \end{pmatrix}$$

$$\det {\mathbf{f}}^{\prime }(x,y)=e^{2x}\ne 0$$

故反函数存在。

反函数导数： $$(\mathbf{f}^{-1})'(\mathbf{w}) = [\mathbf{f}'(x, y)]^{-1} = \frac{1}{e^{2x}}\begin{pmatrix} e^x\cos y & e^x\sin y \ -e^x\sin y & e^x\cos y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-x}\cos y & e^{-x}\sin y \ -e^{-x}\sin y & e^{-x}\cos y \end{pmatrix}$$

其中 $(x,y)={\mathbf{f}}^{-1}(\mathbf{w})$。

🗺️ 完整思维导图

第23章第3节：反函数定理与隐函数定理
│
├─ 第一部分：问题的提出
│  ├─ 1.1 反函数
│  │   ├─ 一一映射定义
│  │   ├─ 反函数恒等式
│  │   └─ 核心问题：局部可逆性条件
│  └─ 1.2 从一元到多元
│      ├─ 一元：f'(x₀) ≠ 0
│      └─ 多元：det f'(x₀) ≠ 0
│
├─ 第二部分：反函数定理
│  ├─ 2.1 定理陈述（定理23.17）
│  │   ├─ 条件：f可微、f'连续、det f'(x₀) ≠ 0
│  │   └─ 结论：局部一一映射、反函数可微
│  ├─ 2.2 证明思路（五步法）
│  │   ├─ Step 1：坐标平移标准化
│  │   ├─ Step 2：压缩映射估计
│  │   ├─ Step 3：不动点迭代
│  │   ├─ Step 4：反函数可微性
│  │   └─ Step 5：导数连续性
│  └─ 2.3 应用实例
│      └─ 例1：球坐标变换的反函数
│
├─ 第三部分：隐函数定理
│  ├─ 3.1 隐函数方程
│  │   ├─ F(x, y) = 0
│  │   ├─ 隐函数定义：y = f(x)
│  │   └─ 偏导数符号：F'ₓ, F'ᵧ
│  ├─ 3.2 定理陈述（定理23.18）
│  │   ├─ 条件：F(x₀, y₀) = 0、F可微、det F'ᵧ(x₀, y₀) ≠ 0
│  │   └─ 结论：局部存在唯一隐函数、隐函数可微
│  ├─ 3.3 证明思路
│  │   ├─ 关键：归约为反函数定理
│  │   ├─ 辅助函数：G(x, y) = (x, F(x, y))
│  │   └─ 构造隐函数：f(x) = k(x, 0)
│  ├─ 3.4 隐函数求导公式（公式18）
│  │   └─ f'(x) = -[F'ᵧ(x, y)]⁻¹F'ₓ(x, y)
│  └─ 3.5 应用实例
│      └─ 例2：雅可比行列式求导
│
├─ 第四部分：拉格朗日乘数法
│  ├─ 4.1 约束优化问题
│  │   ├─ 目标：min/max f(x)
│  │   ├─ 约束：φ(x) = 0
│  │   └─ 拉格朗日函数：L(x, λ) = f(x) + λᵀφ(x)
│  ├─ 4.2 定理陈述（定理23.19）
│  │   ├─ 条件：x₀为条件极值点、rank φ'(x₀) = m
│  │   └─ 结论：∃λ₀使∇L(x₀, λ₀) = 0
│  ├─ 4.3 证明
│  │   ├─ Step 1：隐函数定理
│  │   ├─ Step 2：约束方程求导
│  │   ├─ Step 3：目标函数求导
│  │   ├─ Step 4：构造乘数
│  │   └─ Step 5：验证稳定点
│  └─ 4.4 使用步骤
│      ├─ 构造拉格朗日函数
│      ├─ 求稳定点方程组
│      └─ 判定极值性质
│
└─ 第五部分：习题与深化
   ├─ 5.1 雅可比行列式判定
   ├─ 5.2 隐函数高阶导数
   ├─ 5.3 反函数导数计算
   └─ 5.4 条件极值应用

📊 核心定理关系图

graph TB
      A[微分中值定理23.14] --> B[压缩映射原理]
      B --> C[反函数定理23.17]
      
      C --> D[反函数可微性]
      C --> E[反函数导数公式]
      
      C --> F[隐函数定理23.18]
      F --> G[隐函数存在唯一性]
      F --> H[隐函数求导公式18]
      
      H --> I[拉格朗日乘数法23.19]
      I --> J[约束优化必要条件]
      
      K[链式法则23.13] -.辅助.-> H
      K -.辅助.-> I
      
      L[矩阵可逆性] -.核心条件.-> C
      L -.核心条件.-> F
      
      M[秩条件] -.核心条件.-> I
      
      style C fill:#ff9999
      style F fill:#99ccff
      style I fill:#99ff99
      style H fill:#ffcc99

🔑 核心洞察与理论价值

理论统一性

1. 从线性到非线性的桥梁

   • 线性映射可逆 $\Rightarrow$ 非线性映射局部可逆
   • 关键：连续性将局部线性性质"延拓"到小邻域

2. 隐函数定理 = 反函数定理的变形

   • 技巧：升维变换 $\mathbf{G}(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x},\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y}))$
   • 本质：方程 $\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y})=0$ 的可解性 ⟺ $\mathbf{G}$ 的可逆性

3. 拉格朗日乘数法的几何意义

   • 梯度 $\nabla f$ 与约束曲面的法向量 $\nabla {\mathbf{\phi }}_i$ 共面
   • 代数表达：$\nabla f=-{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i\nabla {\mathbf{\phi }}_i$

条件的必要性

🚀 应用领域

1. 微分几何

• 坐标变换理论：流形上的局部坐标系
• 切空间与余切空间：通过隐函数定理定义
• 曲率计算：利用参数化的反函数

2. 偏微分方程

• 隐函数法求解：将 PDE 转化为 ODE 系统
• 柯西-科瓦列夫斯卡娅定理：利用隐函数定理证明
• 特征线方法：基于反函数定理

3. 最优化理论

• KKT条件：拉格朗日乘数法的推广（含不等式约束）
• 对偶理论：拉格朗 日函数的凸优化推广
• 灵敏度分析：乘数 ${\lambda }_i$ 表示约束的"影子价格"

4. 经济学

• 显示偏好理论：效用函数的隐函数表示
• 包络定理：拉格朗日乘数的经济解释
• 一般均衡理论：隐函数定理保证均衡存在性

5. 控制理论

• 状态空间变换：非线性系统的局部线性化
• 可观测性与可控性：基于雅可比矩阵的秩条件
• 庞特里亚金极大值原理：拉格朗日乘数法的动态版本

6. 机器学习

• 流形学习：数据降维的理论基础
• 约束优化算法：SVM、LASSO等模型训练
• 神经网络正则化：拉格朗日松弛技术

📚 定理对比与联系

反函数定理 vs 隐函数定理

统一视角：隐函数定理可视为"部分反函数定理"——只对部分变量求反函数。

🎓 深入理解：三大定理的层次结构

第一层：可微性（§2）

• 微分中值定理（23.14）：$\Vert \mathbf{f}(\mathbf{b})-\mathbf{f}(\mathbf{a})\Vert \le \Vert {\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{\xi })\Vert \cdot \Vert \mathbf{b}-\mathbf{a}\Vert$
• 作用：控制函数增量，为压缩映射原理提供工具

第二层：局部可逆性（§3反函数定理）

• 反函数定理（23.17）：$\det {\mathbf{f}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)\ne 0\Rightarrow$ 局部一一对应
• 证明工具：压缩映射原理 + 不动点迭代
• 本质：线性近似的可逆性 → 非线性映射的局部可逆性

第三层：方程可解性（§3隐函数定理）

• 隐函数定理（23.18）：$\det {\mathbf{F}}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)\ne 0\Rightarrow$ 方程可解
• 证明策略：升维 + 反函数定理
• 本质：方程 $\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y})=0$ 的解 ⟺ 投影映射的反函数

第四层：约束优化（§3拉格朗日乘数法）

• 拉格朗日乘数法（23.19）：条件极值点 → 拉格朗日函数的稳定点
• 证明工具：隐函数定理 + 链式法则
• 本质：将约束优化问题转化为无约束稳定点问题

依赖链：

微分中值定理 → 反函数定理 → 隐函数定理 → 拉格朗日乘数法

📖 经典例题深度解析

例题 1：极坐标变换的完整分析

问题：考虑平面极坐标变换 $$\mathbf{f}(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta {)}^T=(x,y{)}^T$$

(a) 何时 $\mathbf{f}$ 满足反函数定理条件？ (b) 求反函数及其导数。 (c) 反函数在哪些点失效？

解：

(a) 雅可比矩阵分析

$$\mathbf{f}'(r, \theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}$$

$$\det {\mathbf{f}}^{\prime }(r,\theta )=r({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r$$

结论：当 $r\ne 0$ 时，反函数定理条件满足。

(b) 反函数及导数

反函数： $${\mathbf{f}}^{-1}(x,y)={\left(\sqrt{x^2+y^2},\arctan \frac{y}{x}\right)}^T$$ （需要指定 $\arctan$ 的分支）

反函数导数： $$(\mathbf{f}^{-1})'(x, y) = [\mathbf{f}'(r, \theta)]^{-1} = \frac{1}{r}\begin{pmatrix} r\cos\theta & r\sin\theta \ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

代入 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，$\cos \theta =\frac{x}{r}$，$\sin \theta =\frac{y}{r}$：

$$(\mathbf{f}^{-1})'(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \ \frac{-y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{x^2 + y^2} \end{pmatrix}$$

(c) 奇异性分析

反函数在以下情况失效：

1. 原点 $(0,0)$：$r=0$，雅可比行列式为零
2. 射线 $\theta ={\theta }_0$（常数）：角度不连续（分支切割）

几何解释：极坐标变换将半直线（$r>0$，固定 $\theta$）一一映射到去掉原点的射线，但在原点处所有角度对应同一点，失去一一对应性。

例题 2：隐函数存在性与唯一性

问题：考虑方程 $$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0$$

(a) 在点 $(0,0,1)$ 附近，能否将 $z$ 表示为 $x,y$ 的函数？ (b) 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。 (c) 在哪些点隐函数定理失效？

解：

(a) 隐函数定理验证

偏导数： $$F_z^{\prime }(x,y,z)=2z$$

在点 $(0,0,1)$： $$F_z^{\prime }(0,0,1)=2\ne 0$$

结论：满足隐函数定理条件，存在 $z=f(x,y)$ 使得 $F(x,y,f(x,y))=0$，且 $f(0,0)=1$。

(b) 偏导数计算

应用公式 (18)（一元情形）： $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}=-\frac{2y}{2z}=-\frac{y}{z}$$

在点 $(0,0,1)$： $$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(0,0,1)}=0,\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(0,0,1)}=0$$

几何解释：单位球面在北极点的切平面是水平的。

(c) 奇异点分析

隐函数定理失效当： $$F_z^{\prime }=2z=0\Rightarrow z=0$$

奇异点：大圆 $x^2+y^2=1$，$z=0$（赤道）

在赤道附近，无法将 $z$ 唯一表示为 $x,y$ 的函数（$z=\pm \sqrt{1-x^2-y^2}$ 有两个分支）。

例题 3：拉格朗日乘数法的几何意义

问题：求椭球面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$ 上距离原点最远的点。

解：

Step 1：问题建模

目标函数：$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$（距离的平方）

约束条件：$\phi (x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$

Step 2：拉格朗日函数

$$L(x,y,z,\lambda )=x^2+y^2+z^2+\lambda \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)$$

Step 3：稳定点方程

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\frac{2\lambda x}{a^2}=0\\ \frac{\partial L}{\partial y}=2y+\frac{2\lambda y}{b^2}=0\\ \frac{\partial L}{\partial z}=2z+\frac{2\lambda z}{c^2}=0\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\end{array}$$

Step 4：求解

从前三个方程： $$x\left(1+\frac{\lambda }{a^2}\right)=0,y\left(1+\frac{\lambda }{b^2}\right)=0,z\left(1+\frac{\lambda }{c^2}\right)=0$$

情况分析：

情况 1：$x\ne 0$，$y=z=0$

• $\lambda =-a^2$
• 约束：$\frac{x^2}{a^2}=1\Rightarrow x=\pm a$
• 距离：$d^2=a^2$

情况 2：$y\ne 0$，$x=z=0$

• $\lambda =-b^2$
• 距离：$d^2=b^2$

情况 3：$z\ne 0$，$x=y=0$

• $\lambda =-c^2$
• 距离：$d^2=c^2$

最大值：假设 $a\ge b\ge c>0$，则最大距离点为 $(\pm a,0,0)$，最大距离 $\sqrt{a^2}=a$。

几何解释：

• 梯度 $\nabla f=2(x,y,z{)}^T$ 指向原点径向
• 梯度 $\nabla \phi =2{\left(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},\frac{z}{c^2}\right)}^T$ 是椭球面的法向量
• 在极值点，两者平行：$\nabla f=-\lambda \nabla \phi$

🔬 高级主题与拓展

主题 1：常秩定理（Constant Rank Theorem）

定理：设 $\mathbf{f}:D\to {\mathbb{R}}^m$，$D\subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集。若 $\mathbf{f}$ 在 $D$ 内可微，且 $\text{rank}{\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{x})=r$（常数）对所有 $\mathbf{x}\in D$，则对每个 ${\mathbf{x}}_0\in D$，存在邻域 $U({\mathbf{x}}_0)$ 和坐标变换，使得 $\mathbf{f}$ 在新坐标下具有标准形式： $$\mathbf{f}(x_1,\dots ,x_n)=(x_1,\dots ,x_r,0,\dots ,0{)}^T$$

应用：流形理论中子流形的局部标准形。

主题 2：Banach空间的隐函数定理

推广：设 $X,Y,Z$ 是 Banach 空间，$\mathbf{F}:X\times Y\to Z$ 是 Fréchet 可微映射。若：

• $\mathbf{F}({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)=0$
• $D_{\mathbf{y}}\mathbf{F}({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0):Y\to Z$ 是线性同构

则存在隐函数 $\mathbf{f}:U({\mathbf{x}}_0)\to Y$ 满足 $\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x}))=0$。

应用：

• 偏微分方程的解的存在性
• 非线性算子方程理论
• 无穷维动力系统

主题 3：Morse引理与奇点理论

Morse引理：设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 在原点有稳定点（$\nabla f(0)=0$），且黑塞矩阵 $H=f^{\prime \prime }(0)$ 非退化（$\det H\ne 0$）。则存在局部坐标变换，使得： $$f(x_1,\dots ,x_n)=f(0)-x_1^2-\cdots -x_k^2+x_{k+1}^2+\cdots +x_n^2$$

其中 $k$ 是 $H$ 的负特征值个数（Morse指标）。

证明工具：隐函数定理的迭代应用。

应用：

• Morse理论：通过临界点研究流形拓扑
• 奇点理论：分类函数的局部结构
• 变分法：研究泛函的临界点

主题 4：约束优化的二阶条件

定理（二阶充分条件）：设 ${\mathbf{x}}_0$ 满足拉格朗日乘数法的一阶必要条件： $$\nabla f({\mathbf{x}}_0)+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i\nabla {\phi }_i({\mathbf{x}}_0)=0$$

定义bordered Hessian矩阵： $$\bar{H} = \begin{pmatrix} 0 & \nabla\varphi_1^T & \cdots & \nabla\varphi_m^T \ \nabla\varphi_1 & & & \ \vdots & & \nabla_{\mathbf{x}}^2 L & \ \nabla\varphi_m & & & \end{pmatrix}$$

其中 ${\nabla }_{\mathbf{x}}^{2}L$ 是拉格朗日函数对 $\mathbf{x}$ 的黑塞矩阵。

充分条件：

• 若 $\bar{H}$ 的最后 $n-m$ 个特征值为正，则 ${\mathbf{x}}_0$ 是严格局部极小点
• 若为负，则是严格局部极大点

检验方法：计算 $\bar{H}$ 的 $n-m$ 阶主子式的符号。

🧮 计算技巧总结

技巧 1：雅可比矩阵的快速计算

分块技巧：对于 $\mathbf{f}=(f_1,\dots ,f_m{)}^T$，若 $f_i$ 只依赖部分变量，则： $$\mathbf{f}' = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{x}_1} & \mathbf{0} & \cdots \ \mathbf{0} & \frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{x}_2} & \cdots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$$

链式法则：复合函数 $\mathbf{h}=\mathbf{g}\circ \mathbf{f}$ 的雅可比矩阵： $$J_{\mathbf{h}}=J_{\mathbf{g}}\cdot J_{\mathbf{f}}$$

行列式公式： $$\det (\mathbf{g}\circ \mathbf{f}{)}^{\prime }=\det {\mathbf{g}}^{\prime }\cdot \det {\mathbf{f}}^{\prime }$$

技巧 2：隐函数求导的实用公式

一元情形（$F(x,y)=0$ 确定 $y=f(x)$）： $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$$

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{d}{dx}\left(\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}\right)=-\frac{(F_{xx}^{\prime \prime }+F_{xy}^{\prime \prime }\frac{dy}{dx})F_y^{\prime }-F_x^{\prime }(F_{yx}^{\prime \prime }+F_{yy}^{\prime \prime }\frac{dy}{dx})}{(F_y^{\prime }{)}^2}$$

参数方程情形（$x=x(t)$，$y=y(t)$ 确定 $y=f(x)$）： $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$

极坐标情形（$r=r(\theta )$ 确定 $y=f(x)$）： $$\frac{dy}{dx}=\frac{r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta }{r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta }$$

技巧 3：拉格朗日乘数的物理意义

灵敏度解释：乘数 ${\lambda }_i$ 表示当约束 ${\phi }_i=0$ 微调为 ${\phi }_i=ϵ$ 时，目标函数最优值的变化率： $$\frac{\partial f^{\ast }}{\partial {ϵ}_i}\approx -{\lambda }_i$$

经济学解释：

• 影子价格（Shadow Price）：资源约束放松一单位的边际价值
• 机会成本（Opportunity Cost）：使用资源的隐含代价

工程应用：

• 结构优化：${\lambda }_i$ 表示约束的"紧张度"
• 控制理论：协态变量（costate）对应拉格朗日乘数

📐 典型错误与注意事项

错误 1：混淆"偏导存在"与"可微"

反例：函数 $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x{y}^2}{x^2+y^4},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

在原点偏导数存在（$f_x^{\prime }(0,0)=f_y^{\prime }(0,0)=0$），但不可微（沿抛物线 $y^2=x$ 趋近原点，极限不为零）。

启示：反函数定理和隐函数定理要求 ${\mathbf{f}}^{\prime }$ 连续，这是比偏导存在更强的条件。

错误 2：忽视雅可比行列式的符号

问题：$\det {\mathbf{f}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)\ne 0$ 只保证可逆性，不能推断映射的定向性。

例：平面反射变换 $\mathbf{f}(x,y)=(x,-y{)}^T$ 有 $\det {\mathbf{f}}^{\prime }=-1$，是可逆的，但改变了定向（orientation）。

应用：

• 微分几何：保定向微分同胚要求 $\det {\mathbf{f}}^{\prime }>0$
• 积分变换：雅可比行列式的绝对值是体积元的缩放因子

错误 3：拉格朗日乘数法的误用

常见错误：

1. 遗漏约束：忘记检验 $\text{rank}{\mathbf{\phi }}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)=m$
2. 遗漏边界：只检查内部稳定点，忽视约束集的边界
3. 误判极值：一阶条件只给出候选点，需要二阶条件或直接比较

正确流程：

1. 验证约束独立性（秩条件）
2. 求解拉格朗日方程组
3. 检验二阶条件或比较所有候选点
4. 检查边界情况（若约束集非开）

🌟 历史注记与数学家贡献

反函数定理的历史

• 隐含思想：Newton（1670s）在流数法中使用
• 明确表述：Cauchy（1820s）在复变函数理论中
• 严格证明：Dini（1878）在《函数论分析》中
• 推广：Banach（1927）推广到无穷维空间

隐函数定理的演进

• 早期形式：Lagrange（1770s）在力学问题中使用
• 严格化：Cauchy（1844）《微积分教程》
• 现代形式：Dini（1878）完整证明
• 几何应用：Poincaré（1895）应用于微分几何

拉格朗日乘数法的诞生

• 原始论文：Lagrange（1788）《分析力学》
• 核心思想：将约束优化转化为无约束稳定点问题
• 现代理论：Karush（1939）、Kuhn-Tucker（1951）推广到不等式约束（KKT条件）
• 对偶理论：Fenchel（1949）、Rockafellar（1970）发展凸对偶理论

📚 延伸阅读与学习路径

基础巩固

1. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Chapter 9

   • 反函数定理与隐函数定理的经典证明

2. Apostol, Mathematical Analysis, Chapter 13

   • 详细的几何直观和例题

3. 华东师大《数学分析》第五版，第23章

   • 本节内容的完整中文讲解

进阶学习

1. Spivak, Calculus on Manifolds

   • 微分流形上的推广

2. Lang, Real and Functional Analysis

   • Banach空间的隐函数定理

3. Guillemin & Pollack, Differential Topology

   • 常秩定理与浸入、嵌入

应用方向

1. Boyd & Vandenberghe, Convex Optimization

   • 拉格朗日对偶理论与KKT条件

2. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics

   • 拉格朗日力学与约束系统

3. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Vol. 1)

   • 微分几何中的应用

🎯 总结：三大定理的精髓

反函数定理

核心：线性可逆性 → 局部非线性可逆性 条件：$\det {\mathbf{f}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)\ne 0$（雅可比行列式非零） 结论：局部一一对应 + 反函数可微

隐函数定理

核心：方程可解性的充分条件 条件：$\det {\mathbf{F}}_{\mathbf{y}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)\ne 0$（对隐变量的偏导可逆） 结论：局部唯一解 + 隐函数可微