📚 数学分析上册·附录整理

目录

• 附录A：常用不等式汇总
• 附录B：极限计算速查表
• 附录C：导数与微分公式大全
• 附录D：积分公式表
• 附录E：常用级数展开
• 附录F：特殊函数表
• 附录G：重要定理索引
• 附录H：经典反例集
• 附录I：希腊字母与数学符号
• 附录J：证明技巧与方法论
• 附录K：历年经典考题精选
• 附录L：数学家小传

附录A：常用不等式汇总

A.1 基本不等式

A.1.1 均值不等式族

(1) 算术-几何平均不等式（AM-GM）

$$\boxed{\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}\le \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$$

等号成立条件：$x_1=x_2=\cdots =x_n$

特殊情形（$n=2$）： $$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2},a,b\ge 0$$

(2) 调和-几何-算术-平方平均（HG-GM-AM-QM）

$$\boxed{\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}\le \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\le \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}}$$

记为：HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM

(3) 加权均值不等式

设 $w_1,w_2,\dots ,w_n>0$，$\sum w_i=1$，则

$$\boxed{\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}\le \sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i}$$

A.1.2 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）

(1) 标准形式

$$\boxed{{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)}$$

等号成立：$\exists \lambda$，使 $a_i=\lambda b_i$（向量共线）

(2) 积分形式

$$\boxed{{\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)dx}$$

(3) 向量形式

$$\boxed{|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le \Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert }$$

A.1.3 赫尔德不等式（Hölder's Inequality）

设 $p,q>1$，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则

$$\boxed{\sum _{i=1}^n|a_i{b}_i|\le {\left(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^q\right)}^{1/q}}$$

积分形式：

$$\boxed{{\int }_a^b|f(x)g(x)|dx\le {\left({\int }_a^b|f{|}^{p}dx\right)}^{1/p}{\left({\int }_a^b|g{|}^{q}dx\right)}^{1/q}}$$

注：$p=q=2$ 时退化为柯西不等式。

A.1.4 闵可夫斯基不等式（Minkowski's Inequality）

设 $p\ge 1$，则

$$\boxed{{\left(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p\right)}^{1/p}\le {\left(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p\right)}^{1/p}+{\left(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p\right)}^{1/p}}$$

积分形式：

$$\boxed{{\left({\int }_a^b|f+g{|}^{p}dx\right)}^{1/p}\le {\left({\int }_a^b|f{|}^{p}dx\right)}^{1/p}+{\left({\int }_a^b|g{|}^{p}dx\right)}^{1/p}}$$

物理意义：$L^p$ 空间的三角不等式。

A.1.5 琴生不等式（Jensen's Inequality）

设 $f$ 是凸函数，$w_i>0$，$\sum w_i=1$，则

$$\boxed{f\left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i)}$$

积分形式：

$$\boxed{f\left(\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}g(x)dx\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(g(x))dx}$$

应用：证明均值不等式、熵的凹性等。

A.2 常用分析不等式

A.2.1 伯努利不等式（Bernoulli's Inequality）

$$\boxed{(1+x{)}^n\ge 1+nx,\forall x>-1,n\in \mathbb{N}}$$

推广：若 $n\ge 1$（实数），$x>-1$，则

• $n\ge 1$ 时：$(1+x{)}^n\ge 1+nx$
• $0<n<1$ 时：$(1+x{)}^n\le 1+nx$

A.2.2 杨氏不等式（Young's Inequality）

设 $p,q>1$，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则

$$\boxed{ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},\forall a,b\ge 0}$$

等号成立：$a^p=b^q$

A.2.3 三角不等式

(1) 实数形式

$$\boxed{|a+b|\le |a|+|b|}$$

$$\boxed{||a|-|b||\le |a-b|}$$

(2) 积分形式

$$\boxed{\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx}$$

A.2.4 重要函数不等式

(1) 指数与对数

$$\boxed{e^x\ge 1+x,\forall x\in \mathbb{R}}$$

$$\boxed{\ln (1+x)\le x,\forall x>-1}$$

$$\boxed{\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x,\forall x>0}$$

(2) 三角函数（$x>0$）

$$\boxed{\sin x<x<\tan x}$$

$$\boxed{\frac{2}{\pi }x\le \sin x\le x,x\in [0,\frac{\pi }{2}]}$$

$$\boxed{|\sin x|\le |x|,\forall x\in \mathbb{R}}$$

(3) 反三角函数

$$\boxed{\arctan x\le x,\forall x\ge 0}$$

$$\boxed{\frac{x}{1+x^2}\le \arctan x\le \frac{x}{\sqrt{1+x^2}},x>0}$$

A.3 应用技巧

常见使用场景

附录B：极限计算速查表

B.1 基本极限

B.1.1 数列极限

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e}$$

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n=e^x}$$

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}=0,\forall a\in \mathbb{R}}$$

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1}$$

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1,\forall a>0}$$

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{1/n}=1}$$

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^k}{a^n}=0,\forall a>1,k\in \mathbb{N}}$$

B.1.2 函数极限（$x\to 0$）

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1}$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}}$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1}$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1}$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a,a>0}$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\alpha }-1}{x}=\alpha }$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}=e}$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin x}{x}=1}$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x}{x}=1}$$

B.1.3 函数极限（$x\to \infty$）

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e}$$

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a^x}{x^n}=+\infty ,a>1,n\in \mathbb{N}}$$

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^a}=0,\forall a>0}$$

$$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0,\forall n\in \mathbb{N}}$$

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_m}{b_n}{x}^{m-n},\mathrm{deg}P=m,\mathrm{deg}Q=n}$$

B.2 等价无穷小（$x\to 0$）

B.2.1 标准等价

$$\boxed{\sin x\sim x}$$

$$\boxed{\tan x\sim x}$$

$$\boxed{\arcsin x\sim x}$$

$$\boxed{\arctan x\sim x}$$

$$\boxed{1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}}$$

$$\boxed{e^x-1\sim x}$$

$$\boxed{\ln (1+x)\sim x}$$

$$\boxed{a^x-1\sim x\ln a}$$

$$\boxed{(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x}$$

$$\boxed{\sqrt{1+x}-1\sim \frac{x}{2}}$$

$$\boxed{\tan x-\sin x\sim \frac{x^3}{2}}$$

$$\boxed{x-\ln (1+x)\sim \frac{x^2}{2}}$$

$$\boxed{\arcsin x-x\sim \frac{x^3}{6}}$$

$$\boxed{x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3}}$$

B.2.2 使用原则

✅ 可以替换的情形：

1. 乘除运算：$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f_1(x)}{g_1(x)}$（若 $f\sim f_1$，$g\sim g_1$）

2. 幂指数函数：$\lim [f(x){]}^{g(x)}=\lim [f_1(x){]}^{g(x)}$（若 $f\sim f_1$）

❌ 不能直接替换的情形：

1. 加减运算：$\sin x-\tan x\ne x-x=0$（实际 $\sim -\frac{x^3}{2}$）

2. 复合函数：需谨慎，通常先化简再替换

B.3 洛必达法则速查

B.3.1 适用类型

$$\boxed{\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }}$$

直接适用

$$\boxed{0\cdot \infty ,\infty -\infty ,0^0,1^{\infty },{\infty }^0}$$

需要变形：

• $0\cdot \infty \Rightarrow \frac{0}{1/\infty }$ 或 $\frac{\infty }{1/0}$
• $\infty -\infty \Rightarrow$ 通分或变形
• $0^0,1^{\infty },{\infty }^0\Rightarrow$ 取对数：$e^{\ln f^g}=e^{g\ln f}$

B.3.2 常见失败情形

❌ 洛必达失效的例子：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x}$$

用洛必达：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\cos x}{1}$$

极限不存在！

✅ 正确做法：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)=1$$

B.4 泰勒展开速查（$x\to 0$）

$$\boxed{e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)}$$

$$\boxed{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})}$$

$$\boxed{\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})}$$

$$\boxed{\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)}$$

$$\boxed{(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)}$$

$$\boxed{\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)}$$

$$\boxed{\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+o(x^5)}$$

$$\boxed{\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)}$$

$$\boxed{\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n)}$$

附录C：导数与微分公式大全

C.1 基本初等函数导数表

C.1.1 幂函数、指数、对数

$$\boxed{(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}}$$

$$\boxed{(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a,(e^x{)}^{\prime }=e^x}$$

$$\boxed{({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a},(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}}$$

$$\boxed{(C{)}^{\prime }=0,C\text{ 为常数}}$$

C.1.2 三角函数

$$\boxed{(\sin x{)}^{\prime }=\cos x}$$

$$\boxed{(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x}$$

$$\boxed{(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$$

$$\boxed{(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}}$$

$$\boxed{(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x}$$

$$\boxed{(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x}$$

C.1.3 反三角函数

$$\boxed{(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1}$$

$$\boxed{(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1}$$

$$\boxed{(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}}$$

$$\boxed{(\text{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}}$$

$$\boxed{(\text{arcsec}x{)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1}$$

$$\boxed{(\text{arccsc}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1}$$

C.1.4 双曲函数

$$\boxed{(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x}$$

$$\boxed{(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x}$$

$$\boxed{(\tanh x{)}^{\prime }={\text{sech}}^{2}x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}}$$

$$\boxed{(\text{coth}x{)}^{\prime }=-{\text{csch}}^{2}x}$$

C.2 求导法则

C.2.1 四则运算

$$\boxed{(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }}$$

$$\boxed{(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime },C\text{ 为常数}}$$

$$\boxed{(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }}$$

$$\boxed{{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2},v\ne 0}$$

C.2.2 复合函数

$$\boxed{[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)}$$

链式法则（Chain Rule）

C.2.3 反函数

若 $y=f(x)$ 可导且 $f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 满足：

$$\boxed{[f^{-1}(y){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}}$$

C.2.4 隐函数求导

对方程 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导，把 $y$ 看作 $x$ 的函数：

$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dx}=0$$

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}}$$

C.2.5 参数方程求导

设 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$，则

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}}$$

$$\boxed{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot \frac{1}{dx/dt}}$$

C.2.6 对数求导法

对于形如 $y=u(x{)}^{v(x)}$ 的函数：

$$\ln y=v(x)\ln u(x)$$

$$\frac{y^{\prime }}{y}=v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\cdot \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$$

$$\boxed{y^{\prime }=y\left[v^{\prime }(x)\ln u(x)+\frac{v(x)u^{\prime }(x)}{u(x)}\right]}$$

C.3 高阶导数

C.3.1 莱布尼茨公式

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

C.3.2 常见函数的$n$阶导数

$$\boxed{(e^{ax}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax}}$$

$$\boxed{(\sin ax{)}^{(n)}=a^n\sin \left(ax+\frac{n\pi }{2}\right)}$$

$$\boxed{(\cos ax{)}^{(n)}=a^n\cos \left(ax+\frac{n\pi }{2}\right)}$$

$$\boxed{(\ln x{)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n},n\ge 1}$$

$$\boxed{{\left(\frac{1}{1-x}\right)}^{(n)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}}$$

$$\boxed{{\left(\frac{1}{x+a}\right)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+a{)}^{n+1}}}$$

C.4 微分公式

C.4.1 一阶微分

$$\boxed{dy=f^{\prime }(x)dx}$$

$$\boxed{d(u\pm v)=du\pm dv}$$

$$\boxed{d(uv)=vdu+udv}$$

$$\boxed{d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}}$$

C.4.2 微分形式不变性

无论 $u$ 是自变量还是中间变量，总有：

$$\boxed{d[f(u)]=f^{\prime }(u)du}$$

附录D：积分公式表

D.1 基本积分表

D.1.1 幂函数与指数对数

$$\boxed{\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,\alpha \ne -1}$$

$$\boxed{\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C}$$

$$\boxed{\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,a>0,a\ne 1}$$

$$\boxed{\int e^{x}dx=e^x+C}$$

D.1.2 三角函数

$$\boxed{\int \sin xdx=-\cos x+C}$$

$$\boxed{\int \cos xdx=\sin x+C}$$

$$\boxed{\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C}$$

$$\boxed{\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C}$$

$$\boxed{\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C}$$

$$\boxed{\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C}$$

$$\boxed{\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C}$$

$$\boxed{\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C}$$

$$\boxed{\int \sec x\tan xdx=\sec x+C}$$

$$\boxed{\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C}$$

D.1.3 反三角函数

$$\boxed{\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C=-\arccos x+C^{\prime }}$$

$$\boxed{\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C=-\text{arccot}x+C^{\prime }}$$

$$\boxed{\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx=\text{arcsec}|x|+C}$$

D.1.4 双曲函数

$$\boxed{\int \sinh xdx=\cosh x+C}$$

$$\boxed{\int \cosh xdx=\sinh x+C}$$

$$\boxed{\int \tanh xdx=\ln (\cosh x)+C}$$

D.2 常用凑微分公式

$$\boxed{\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C}$$

$$\boxed{\int xf(x^2)dx=\frac{1}{2}\int f(x^2)d(x^2)}$$

$$\boxed{\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C}$$

$$\boxed{\int f^{\prime }(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C}$$

D.3 三角函数积分

D.3.1 基本三角积分

$$\boxed{\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C}$$

$$\boxed{\int {\cos }^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C}$$

$$\boxed{\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{1}{n}{\sin }^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx}$$

$$\boxed{\int {\cos }^{n}xdx=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx}$$

D.3.2 乘积积分

$$\boxed{\int \sin mx\cos nxdx=-\frac{\cos [(m-n)x]}{2(m-n)}-\frac{\cos [(m+n)x]}{2(m+n)}+C}$$

$$\boxed{\int \sin mx\sin nxdx=\frac{\sin [(m-n)x]}{2(m-n)}-\frac{\sin [(m+n)x]}{2(m+n)}+C}$$

$$\boxed{\int \cos mx\cos nxdx=\frac{\sin [(m-n)x]}{2(m-n)}+\frac{\sin [(m+n)x]}{2(m+n)}+C}$$

D.4 含根式积分

D.4.1 平方根型

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C,a>0}$$

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C}$$

$$\boxed{\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C}$$

$$\boxed{\int \sqrt{x^2\pm a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm \frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C}$$

D.4.2 分式根式

$$\boxed{\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C}$$

$$\boxed{\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C}$$

$$\boxed{\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C}$$

D.5 有理函数积分

D.5.1 标准形式

$$\boxed{\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln |x-a|+C}$$

$$\boxed{\int \frac{A}{(x-a{)}^n}dx=\frac{A}{(1-n)(x-a{)}^{n-1}}+C,n\ne 1}$$

$$\boxed{\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx=\frac{M}{2}\ln |x^2+px+q|+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\int \frac{dx}{x^2+px+q}}$$

D.5.2 部分分式

对于 $\frac{P(x)}{Q(x)}$（$\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q$），分解为：

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum \frac{A_i}{(x-a_i{)}^{k_i}}+\sum \frac{B_{j}x+C_j}{(x^2+p_{j}x+q_j{)}^{m_j}}$$

D.6 定积分常用公式

D.6.1 牛顿-莱布尼茨公式

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=[F(x){]}_a^b}$$

D.6.2 对称性

(1) 奇偶函数

$$\boxed{{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}2{\int }_0^{a}f(x)dx& f\text{ 偶函数}\\ 0& f\text{ 奇函数}\end{array}}$$

(2) 周期函数

$$\boxed{{\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx}$$

D.6.3 华里士（Wallis）公式

$$\boxed{I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}& n\text{ 偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}& n\text{ 奇数}\end{array}}$$

其中 $n!!=n(n-2)(n-4)\cdots$（双阶乘）

附录E：常用级数展开

E.1 幂级数展开（麦克劳林级数）

E.1.1 指数与对数

$$\boxed{e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ,x\in \mathbb{R}}$$

$$\boxed{\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ,x\in (-1,1]}$$

$$\boxed{\ln \frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots \right),|x|<1}$$

E.1.2 三角函数

$$\boxed{\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots ,x\in \mathbb{R}}$$

$$\boxed{\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots ,x\in \mathbb{R}}$$

$$\boxed{\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots ,|x|<\frac{\pi }{2}}$$

E.1.3 反三角函数

$$\boxed{\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots ,|x|\le 1}$$

$$\boxed{\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots ,|x|\le 1}$$

E.1.4 二项式级数

$$\boxed{(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n,|x|<1}$$

其中 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n}\right)=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$

特殊情形：

$$\boxed{\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+\cdots ,|x|<1}$$

$$\boxed{\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-\cdots ,|x|<1}$$

$$\boxed{\frac{1}{(1-x{)}^2}=\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=1+2x+3x^2+\cdots ,|x|<1}$$

$$\boxed{\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\cdots ,|x|<1}$$

E.2 傅里叶级数

E.2.1 标准形式

周期为 $2\pi$ 的函数：

$$\boxed{f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)}$$

其中：

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,n=0,1,2,\dots$$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx,n=1,2,3,\dots$$

E.2.2 周期为 $2L$ 的情形

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{L}+b_n\sin \frac{n\pi x}{L}\right)$$

E.2.3 常见函数的傅里叶展开

(1) 锯齿波：$f(x)=x$，$x\in (-\pi ,\pi )$

$$\boxed{x=2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin nx}$$

(2) 方波：$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0<x<\pi \\ -1& -\pi <x<0\end{array}$

$$\boxed{f(x)=\frac{4}{\pi }\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\sin [(2n+1)x]}{2n+1}}$$

(3) 三角波：$f(x)=|x|$，$x\in [-\pi ,\pi ]$

$$\boxed{|x|=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\cos [(2n+1)x]}{(2n+1{)}^2}}$$

E.3 数项级数

E.3.1 几何级数

$$\boxed{\sum _{n=0}^{\infty }a{r}^n=\frac{a}{1-r},|r|<1}$$

E.3.2 p-级数

$$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛}& p>1\\ \text{发散}& p\le 1\end{array}}$$

特殊值：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\text{（巴塞尔问题）}$$