§2. 映射（Mapping）- 深度理解与实例剖析

一、映射定义的核心要素回顾

让我们先重温映射的完整定义，然后通过实例深入理解：

定义：设有 $n$ 个集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 和另一个集合 $D$ 。如果通过一个法则 $ϕ$ ，对于任意一个元素组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \in A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n}$ ，都能得到 $D$ 中唯一确定的元素 $d$ ，那么这个法则 $ϕ$ 就称为从 $A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n}$ 到 $D$ 的一个映射。

映射成立的五个关键点

从文本中总结，定义映射时必须注意：

mindmap
  root((映射的<br/>五大要素))
    1. 集合可能相同
      A₁, A₂, ..., Aₙ, D<br/>可以是同一个集合
    2. 次序不可掉换
      一般情况下<br/>A₁×A₂ ≠ A₂×A₁
    3. 每个元素必须有像
      定义域中的每个<br/>元素都要被规定
    4. 像必须唯一
      一个元素只能<br/>对应一个像
    5. 像必须属于陪域
      所有的像都必须<br/>是 D 的元素

二、实例详解：理解"什么是映射"与"什么不是映射"

例1：标准的映射（所有集合相同）

设定： $A_{1} = A_{2} = \dots = A_{n} = D = 所有实数组成的集合$

映射法则： $ϕ : (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) ⟶ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} = ϕ (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$

分析：

✅ 这是一个合法的映射
所有集合 $A_{i}$ 和 $D$ 恰好相同
次序没有关系（因为平方和满足交换律）
映射定义并没有说 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, D$ 必须不同

关键洞察：

虽然这些集合相同，但映射仍然有意义。这类似于函数 $f : R^{n} \to R$ ，将 $n$ 维向量映射到一个实数。

例2：违反"唯一性"的反例

设定： $A_{1} = {东, 西}, A_{2} = {南}, D = {高, 低}$

尝试定义映射 $ϕ_{1}$ ： $ϕ_{1} : (西, 南) ⟶ 高 = ϕ_{1} (西, 南)$

问题分析：

定义域 A₁ × A₂ = {(东, 南), (西, 南)}

φ₁ 只规定了：(西, 南) → 高
但没有规定：(东, 南) → ?

❌ 这违反了"每个元素必须有像"的要求！

正确的映射 $ϕ_{2}$ ： $ϕ_{2} : {(西, 南) ⟶ 高 (东, 南) ⟶ 低$

现在 $ϕ_{2}$ 是一个合法的从 $A_{1} \times A_{2}$ 到 $D$ 的映射。

关键洞察：

定义映射时，定义域中的每一个元素都必须明确规定其像，不能有遗漏！

例2的进阶讨论：次序的重要性

对于例1中的映射 $ϕ$ ：

因为 $A_{1} = A_{2} = \dots = A_{n}$ （所有集合相同）
并且法则是对称的（平方和）
所以 $ϕ$ 也可以看作 $A_{2} \times A_{1} \times \dots \times A_{n}$ 到 $D$ 的映射

但对于例2中的映射 $ϕ_{2}$ ：

$A_{1}$ 和 $A_{2}$ 的次序不能交换！
$ϕ_{2}$ 只对 $(西, 南)$ 和 $(东, 南)$ 规定了像
但并没有对 $(南, 西)$ 和 $(南, 东)$ 规定任何东西

A₁ × A₂ = {(东, 南), (西, 南)}  ← φ₂ 定义在这里
A₂ × A₁ = {(南, 东), (南, 西)}  ← φ₂ 没有定义这些元素的像！

关键洞察：

笛卡尔积的次序很重要！ $(a, b) \neq = (b, a)$ （除非 $a = b$ ）。映射的定义域必须精确指定。

例3：违反"唯一性"的深刻反例

设定： $A_{1} = D = 所有实数组成的集合$

尝试定义映射 $ϕ$ ： $ϕ : {a ⟶ a, 1 ⟶ b, 若 a \neq = 1 这里 b^{2} = 1$

问题分析：

虽然 $ϕ$ 对每个 $a \neq = 1$ 规定了唯一的像 $a$ ，但对于 $a = 1$ ：

$b^{2} = 1$ 意味着 $b = 1$ 或 $b = - 1$
这是两个可能的值！
我们无法确定 $1$ 的像到底是 $1$ 还是 $- 1$

❌ 这违反了"像必须唯一"的要求！

关键洞察：

即使通过某个条件（如 $b^{2} = 1$ ）来规定像，如果这个条件不能唯一确定一个元素，那么这就不是映射。这是"映射"与"多值函数"或"关系"的本质区别。

思考问题：如果我们规定 $1 ⟶ 1$ （取正根），那么 $ϕ$ 就是一个合法的映射了。这说明了什么？

点击查看答案

这说明映射的定义必须完全明确、没有歧义。在数学中，我们常常需要做出约定（如取正根）来消除歧义，使得法则成为真正的映射。

例4：违反"全域性"的反例

设定： $A_{1} = D = 所有正整数组成的集合$

尝试定义映射 $ϕ$ ： $ϕ : a ⟶ a - 1$

问题分析：

让我们检查每个元素：

$ϕ (2) = 2 - 1 = 1 \in D$ ✓
$ϕ (3) = 3 - 1 = 2 \in D$ ✓
$ϕ (a) = a - 1$ 对于 $a \neq = 1$ 都属于 $D$ ✓

但是：

$ϕ (1) = 1 - 1 = 0$
$0 \in / D$ （因为 $D$ 只包含正整数）

❌ 这违反了"所有的像都必须属于陪域 D"的要求！

如何修正？

方法1：修改定义域 $ϕ : Z^{+} ∖ {1} \to Z^{+}, ϕ (a) = a - 1$ （定义域改为所有正整数除去1）

方法2：修改陪域 $ϕ : Z^{+} \to Z_{\geq 0}, ϕ (a) = a - 1$ （陪域改为非负整数）

关键洞察：

映射的定义必须确保所有的像都落在陪域内。如果法则会产生陪域之外的值，那就不是合法的映射。

三、映射相等：形式 vs. 本质

定义：映射相等

定义：我们说 $A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n}$ 到 $D$ 的两个映射 $ϕ_{1}$ 和 $ϕ_{2}$ 是相同的，假如对于任意一个元素 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 来说， $ϕ_{1} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = ϕ_{2} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$

核心理念：

两个映射是否相同，不在于它们的形式或名字，而在于它们的效果是否相同。

例5：形式不同但本质相同的映射

设定： $A = D = 所有正整数的集合$

两个映射： $ϕ_{1} : a ⟶ 1 = ϕ_{1} (a)$ $ϕ_{2} : a ⟶ a^{0} = ϕ_{2} (a)$

分析：

看起来 $ϕ_{1}$ 和 $ϕ_{2}$ 的定义完全不同：

$ϕ_{1}$ 总是输出常数 $1$
$ϕ_{2}$ 计算 $a$ 的0次幂

但是：

对于任意 $a \in A$ （正整数）， $a^{0} = 1$
因此 $ϕ_{1} (a) = 1 = a^{0} = ϕ_{2} (a)$
两个映射在每一个输入上都产生相同的输出

✓ 根据定义，φ₁ 和 φ₂ 是相同的映射！

关键洞察：

映射的"本质"在于输入-输出的对应关系，而不在于我们如何描述或计算这个对应。这类似于函数 $f (x) = sin^{2} (x) + cos^{2} (x)$ 和 $g (x) = 1$ 是相同的函数。

四、深度理解：映射定义中的微妙之处

4.1 为什么强调"唯一性"？

让我们思考：如果没有唯一性要求会怎样？

反例：考虑"关系" $R : x \to \pm x$ （平方根关系）

对于 $x = 4$ ， $R$ 给出 ${2, - 2}$
这是一个一对多的关系，不是映射

问题：

如果允许多值，我们无法谈论" $ϕ (x)$ "这个确定的值
许多定理（如复合映射的结合律）都会失效
数学推理需要确定性

4.2 为什么需要"全域性"？

思考问题：为什么映射必须对定义域中的每一个元素都有定义？

点击查看讨论

原因1：代数运算的封闭性

在群、环等代数结构中，我们需要运算对所有元素都有定义
如果有些元素"没有运算结果"，结构就不完整

原因2：复合映射的可行性

如果 $ϕ : A \to B$ 和 $ψ : B \to C$
复合映射 $ψ \circ ϕ$ 要求 $ϕ (a)$ 对所有 $a \in A$ 都有定义
否则 $ψ (ϕ (a))$ 可能无意义

原因3：数学的完备性

允许"部分定义"的映射会使理论变得复杂
如果需要部分定义，可以通过限制定义域来实现

4.3 映射 vs. 函数 vs. 关系

让我们澄清这些概念的关系：

graph TD
    A[关系 Relation] --> B[映射 Mapping]
    B --> C[函数 Function]
    
    A --> D["可以是一对多<br/>x → {y₁, y₂, ...}"]
    B --> E["必须是一对一或多对一<br/>每个输入唯一输出"]
    C --> F["通常指实数/复数上的映射<br/>可用公式表达"]
    
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:3px

关键区别：

关系：最一般，可以一对多
映射：每个输入有唯一输出（可以多对一）
函数：通常指数学分析中的映射，常用公式表示

五、完整思维导图

mindmap
  root((映射的<br/>完整理解))
    定义要素
      定义域<br/>A₁×A₂×...×Aₙ
      陪域 D
      法则 φ
    合法性条件
      全域性<br/>每个元素都有像
      唯一性<br/>每个元素只有一个像
      封闭性<br/>像属于陪域
    常见错误
      遗漏元素<br/>例2的 φ₁
      多值输出<br/>例3的 φ
      像超出陪域<br/>例4的 φ
    映射相等
      形式可以不同
      效果必须相同
      例5：1 vs a⁰
    特殊情况
      集合可相同<br/>例1
      次序很重要<br/>例2
      需要精确约定<br/>例3